Forskjell mellom versjoner av «Derivasjonsregler»
Fra Matematikk.net
| (29 mellomliggende revisjoner av en annen bruker er ikke vist) | |||
| Linje 3: | Linje 3: | ||
Nedenfor følger en oversikt over de vanligste derivasjonsreglene for funksjoner med en [[variabel]].<p> | Nedenfor følger en oversikt over de vanligste derivasjonsreglene for funksjoner med en [[variabel]].<p> | ||
| + | |||
| + | ==Potenser og polynomer== | ||
<table border="1" cellpadding="10"> | <table border="1" cellpadding="10"> | ||
| Linje 53: | Linje 55: | ||
</table> | </table> | ||
| + | ==Logaritme og eksponentialfunksjoner== | ||
| + | <table border="1" cellpadding="10"> | ||
| + | <tr> | ||
| + | <td></td> | ||
| + | <td></td> | ||
| + | </tr> | ||
| − | |||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td> Eksponentialfunksjonen a<sup>x</sup> </td> | + | <td> Eksponentialfunksjonen a<sup>x</sup> |
| + | $\\$ | ||
| + | [[Bevis for derivasjon av a^x | Bevis for derivasjon av $a^x$ ]]</td> | ||
<td> f (x) = a<sup>x</sup></td> | <td> f (x) = a<sup>x</sup></td> | ||
<td> f '(x) = a<sup>x</sup>ln a</td> | <td> f '(x) = a<sup>x</sup>ln a</td> | ||
| Linje 63: | Linje 72: | ||
</tr> | </tr> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td> Eksponentialfunksjonen e<sup>x</sup> </td> | + | <td> Eksponentialfunksjonen e<sup>x</sup> |
| + | $\\$ | ||
| + | [[ Bevis for derivasjon av e^x | Bevis for derivasjon av $e^x$ ]] </td> | ||
<td> f (x) = e<sup>x</sup></td> | <td> f (x) = e<sup>x</sup></td> | ||
<td> f '(x) = e<sup>x</sup></td> | <td> f '(x) = e<sup>x</sup></td> | ||
| Linje 69: | Linje 80: | ||
</tr> | </tr> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td>Logaritme funksjonen </td> | + | <td>Logaritme funksjonen <br> Logaritme uansett base $y = log_bx$ <br> [[ Bevis for derivasjon av log x, vilkårlig base]]</td> |
| − | <td> f(x) = ln |x|</td> | + | <td> f(x) = ln |x| <br> $f(x) = log_b|x|$</td> |
| − | <td> f ' (x)=<math>\frac{1}{x}</math> | + | <td> f ' (x)=<math>\frac{1}{x}</math> <br>$f'(x) = \frac{1}{x \cdot ln(b)}$ </td> |
<td></td> | <td></td> | ||
</tr> | </tr> | ||
| Linje 79: | Linje 90: | ||
</table> | </table> | ||
| − | + | ==Trigonometriske funksjoner== | |
| + | |||
<table border="1" cellpadding="10"> | <table border="1" cellpadding="10"> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td> [[Sinus]] </td> | + | <td> [[Sinus]] <br> [[Bevis -derivasjon sinus ]]</td> |
<td> f(x) = sin x</td> | <td> f(x) = sin x</td> | ||
<td>f'(x) = cos x </td> | <td>f'(x) = cos x </td> | ||
| Linje 95: | Linje 107: | ||
</tr> | </tr> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td> Tangens </td> | + | <td> Tangens <Br> [[Bevis for derivasjon av tan(x) ]]</td> |
<td> f (x) = tan x</td> | <td> f (x) = tan x</td> | ||
| − | <td> <math>f ' (x)=\frac{1}{cos^2x}</math> eller <math> f ' (x)= 1 + tan^2x </math> </td> | + | <td> <math>f ' (x)=\frac{1}{cos^2x}<Br></math> |
| + | eller | ||
| + | |||
| + | <math> f ' (x)= 1 + tan^2x </math> </td> | ||
<td></td> | <td></td> | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| + | ==Produkt, kvotient og kjerne== | ||
<table border="1" cellpadding="10"> | <table border="1" cellpadding="10"> | ||
<tr> | <tr> | ||
| Linje 110: | Linje 126: | ||
</tr> | </tr> | ||
<tr> | <tr> | ||
| − | <td> Kvotient </td> | + | <td> Kvotient <br> |
| + | |||
| + | [[ Kvotient regel derivasjon-bevis]]</td> | ||
<td> f (x)=<math>\frac{g(x)}{h(x)}</math> </td> | <td> f (x)=<math>\frac{g(x)}{h(x)}</math> </td> | ||
<td> f ' (x)=<math>\frac{g ' (x)\cdot h(x)- g(x)\cdot h ' (x)}{(h(x))^2}</math> </td> | <td> f ' (x)=<math>\frac{g ' (x)\cdot h(x)- g(x)\cdot h ' (x)}{(h(x))^2}</math> </td> | ||
Nåværende revisjon fra 16. des. 2021 kl. 07:58
Se også vår side om Derivasjon
Nedenfor følger en oversikt over de vanligste derivasjonsreglene for funksjoner med en variabel.
Potenser og polynomer
| TYPE | FUNKSJON | DERIVERT | EKSEMPEL |
|---|---|---|---|
| Potensen Bevis for potens derivasjon |
f(x) = xn | f '(x) = nxn-1 | <math>(x^3)' = 3x^2</math> |
| Konstant multiplisert med funksjon |
c f(x) | [c f(x)]' = c f '(x) | <math>(4x^3)' = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2</math> |
| Konstant | f(x)= C | C' = 0 | (5)' = 0 |
| Polynom | f(x) = g(x)+ h(x) +... | f '(x) = g'(x) + h'(x) +... | <math>(x^3 -4x^2 +2x -1)' = 3x^2 - 8x + 2</math> |
| Kvadratrot | f(x)=<math>\sqrt{x}</math> | f ' (x)=<math>\frac{1}{2\sqrt{x}}</math> | |
| Nte'rot | f(x)=<math>\sqrt[m]{x^n}=x^{\frac{n}{m}}</math> | Se type: potenser |
Logaritme og eksponentialfunksjoner
| Eksponentialfunksjonen ax
$\\$ Bevis for derivasjon av $a^x$ |
f (x) = ax | f '(x) = axln a | |
| Eksponentialfunksjonen ex
$\\$ Bevis for derivasjon av $e^x$ |
f (x) = ex | f '(x) = ex | |
| Logaritme funksjonen Logaritme uansett base $y = log_bx$ Bevis for derivasjon av log x, vilkårlig base |
f(x) = ln |x| $f(x) = log_b|x|$ |
f ' (x)=<math>\frac{1}{x}</math> $f'(x) = \frac{1}{x \cdot ln(b)}$ |
Trigonometriske funksjoner
| Sinus Bevis -derivasjon sinus |
f(x) = sin x | f'(x) = cos x | |
| Cosinus | f(x) = cos x | f'(x) = -sin x | |
| Tangens Bevis for derivasjon av tan(x) |
f (x) = tan x | <math>f ' (x)=\frac{1}{cos^2x} </math> eller <math> f ' (x)= 1 + tan^2x </math> |
Produkt, kvotient og kjerne
| Produkt Bevis for derivasjon av produkt Eksempel Se video [1] |
f(x)<math>\cdot</math>g(x) | <math>[f(x)\cdot g(x)]'= f '(x)\cdot g(x)+ f(x)\cdot g '(x) </math> | $(4x^3cos(x))' \\ = 12x^2cos(x)-4x^3sin(x) \\ = 4x^2(3cos(x)-xsin(x))$ |
| Kvotient Kvotient regel derivasjon-bevis |
f (x)=<math>\frac{g(x)}{h(x)}</math> | f ' (x)=<math>\frac{g ' (x)\cdot h(x)- g(x)\cdot h ' (x)}{(h(x))^2}</math> | <math>( \frac{sin x}{2x^3})' \\ = \frac{cosx \cdot 2x^3 - 6x^2sinx}{4x^6}\\ = \frac{xcosx-3sinx}{2x^4}</math> |
| Kjerneregel | y = g(u) u er en funksjon av x |
y ' = g ' (u)∙u' | <math>(sin(x^2))' = 2x cos(x^2)</math> |
