Eksempel på derivasjon med produktregelen

Eksempler for derivering med produktregelen. <math>\big[f(x)\cdot g(x)\big]^{\small\prime} = f^{\small\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\small\prime}(x)</math>

Eksempel 1

La oss si vi ønsker å derivere funksjonen <math>2x\cdot \text{e}^x</math>. Dette kan vi tenke på som to funksjoner som ganges sammen.

Vi setter <math>f(x) = 2x</math> og <math>g(x) = \text{e}^x</math>. Vi deriverer funksjonene hver for seg: <math>f^{\small\prime}(x) = 2</math>, og <math>g^{\small\prime}(x) = \text{e}^x</math>.

Produktregelen sier:

<math>\big[f(x)\cdot g(x)\big]^{\small\prime} = f^{\small\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\small\prime}(x)</math>

Vi setter inn funksjonene f og g, og de deriverte f' og g'.

<math>\big[2x\cdot \text{e}^x\big]^{\small\prime} \;=\; 2\cdot \text{e}^x + 2x\cdot \text{e}^x \;=\; \underline{\underline{\text{e}^x\big(2+2x\big)}}</math>

Eksempel 2

Noen ganger bruker vi produktregelen flere ganger. Det er vi nødt til hvis vi vil derivere uttrykk av formen <math>2x\cdot\text{e}^x\cdot\cos(x)</math>.

Her tenker vi på <math>f(x) = 2x\cdot\text{e}^x</math> og <math>g(x) = \cos(x)</math>.

Vi deriverer funksjonene f og g hver for seg. Siden f(x) er et produkt må den deriveres med produktregelen, men det gjorde vi i eksempel 1.

Vi har <math>f^{\small\prime}(x) = 2\text{e}^x + 2x\text{e}^x</math> og <math>g^{\small\prime}(x) = -\sin(x)</math>

Produktregelen sier:

<math>\big[f(x)\cdot g(x)\big]^{\small\prime} = f^{\small\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\small\prime}(x)</math>

Vi setter inn funksjonene f og g, og de deriverte f' og g'.

<math>\big[2x\cdot\text{e}^x\cdot\cos(x)\big]^{\small\prime} \;=\; \big(2\text{e}^x + 2x\text{e}^x\big)\cos(x) + \big(2x\cdot\text{e}^x\big)\big(-\sin(x)\big) \;=</math>

<math>2\text{e}^x\cos(x) + 2x\text{e}^x\cos(x) - 2x\text{e}^x\sin(x) \;=\; \underline{\underline{2\text{e}^x\big(cos(x) + x\cos(x) - x\sin(x)\big)}}</math>