Bevis for derivasjon av e^x
Bevis for derivasjon av $e^x$
Tallet $e^x$ kan defineres som $e^x= \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{1}{n})^n$ eller $e^x= \displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} (1+ n)^{\frac 1 n}$
Da skal vi bevise at den deriverte til $e^x$ er det samme som $e^x$, fasinerende spør du meg. Du vil få bruk for regnereler for potenser.
$(e^x)'= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^{x + \Delta x} - e^x}{\Delta x} = \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^{x } \cdot e^{\Delta x} - e^x}{\Delta x} = e^x \cdot \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$
Vi har et produkt av e i x og en grenseverdi. På tide å finne ut mere om grenseverdien.
$ \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$
Setter $ n ={e^{\Delta x} - 1}$
Da blir nevner $(n+1) = e^{\Delta x} \\ \Delta x = ln |n+1|$
Vi får da:
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} \frac {n}{\ ln |n+1|}= \displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} \frac {1}{\frac 1 n \ ln |n+1|}= \displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} \frac {1}{\ ln( |n+1|)^{\frac 1 n }}= \frac{1}{ln(e)} = 1$
Over brukte vi identiteten i første linje. Vi får da at
$( e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$
Hvilket skulle bevises,
