Derivasjonsregler

Se også vår side om Derivasjon

Nedenfor følger en oversikt over de vanligste derivasjonsreglene for funksjoner med en variabel.

Potenser og polynomer

TYPE	FUNKSJON	DERIVERT	EKSEMPEL
Potensen Bevis for potens derivasjon	f(x) = xn	f '(x) = nxn-1	<math>(x^3)' = 3x^2</math>
Konstant multiplisert med funksjon	c f(x)	[c f(x)]' = c f '(x)	<math>(4x^3)' = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2</math>
Konstant	f(x)= C	C' = 0	(5)' = 0
Polynom	f(x) = g(x)+ h(x) +...	f '(x) = g'(x) + h'(x) +...	<math>(x^3 -4x^2 +2x -1)' = 3x^2 - 8x + 2</math>
Kvadratrot	f(x)=<math>\sqrt{x}</math>	f ' (x)=<math>\frac{1}{2\sqrt{x}}</math>
Nte'rot	f(x)=<math>\sqrt[m]{x^n}=x^{\frac{n}{m}}</math>	Se type: potenser

Logaritme og eksonentialfunksjoner

Eksponentialfunksjonen ax	f (x) = ax	f '(x) = axln a
Eksponentialfunksjonen ex $\\$ Bevis for derivasjon av $e^x$	f (x) = ex	f '(x) = ex
Logaritme funksjonen Logaritme uansett base $y = log_bx$	f(x) = ln |x| $f(x) = log_b|x|$	f ' (x)=<math>\frac{1}{x}</math> $f'(x) = \frac{1}{x \cdot ln(b)}$

Trigonometriske funksjoner

Sinus Bevis -derivasjon sinus	f(x) = sin x	f'(x) = cos x
Cosinus	f(x) = cos x	f'(x) = -sin x
Tangens Bevis for derivasjon av tan(x)	f (x) = tan x	<math>f ' (x)=\frac{1}{cos^2x} </math> eller <math> f ' (x)= 1 + tan^2x </math>

Produkt, kvotient og kjerne

Produkt Bevis for derivasjon av produkt Eksempel Se video [1]	f(x)<math>\cdot</math>g(x)	<math>[f(x)\cdot g(x)]'= f '(x)\cdot g(x)+ f(x)\cdot g '(x) </math>	$(4x^3cos(x))' \\ = 12x^2cos(x)-4x^3sin(x) \\ = 4x^2(3cos(x)-xsin(x))$
Kvotient  Kvotient regel derivasjon-bevis	f (x)=<math>\frac{g(x)}{h(x)}</math>	f ' (x)=<math>\frac{g ' (x)\cdot h(x)- g(x)\cdot h ' (x)}{(h(x))^2}</math>	<math>( \frac{sin x}{2x^3})' \\ = \frac{cosx \cdot 2x^3 - 6x^2sinx}{4x^6}\\ = \frac{xcosx-3sinx}{2x^4}</math>
Kjerneregel	y = g(u) u er en funksjon av x	y ' = g ' (u)∙u'	<math>(sin(x^2))' = 2x cos(x^2)</math>

---