Bevis

bevistyper

Det finnes flere typer matematiske bevis. Matematiske bevis er sentrale for å etablere en sannhet i faget, men de er også viktige i læringsprosessen ved at de skal skape innsikt og forståelse. Det har liten verdi å pugge sekvenser i et bevis om man ikke forstår tankene som ligger til grunn for sekvensene og hva man har som mål.

Bevis

Direkte bevis

Ideen bak et direktebevis er at P impliserer Q.

1) anta at P er sant. 2) Bruk P til å vise at Q er sant

Eksempel:

Utsagn: Summen av to oddetall er et partall.

Ett oddetall er et tall som ikke er delelig på 2 og kan generelt skrives som n= 2k + 1 der k element i N. To forskjellige oddetall kan skrives som n1=2k1+1 og n2= 2k2 + 1 (k1 noteq k2) Summen av n1 og n2: n1 + n2 = 2k1+1 + 2k2 + 1 = 2(k1+k2)+2 = 2(k1+k2+1) som er et tall delelig på 2, altså et partall.

Bevis ved motsigelse

Direkte bevis

Man antar at en påstand er sann, og resonerer seg logisk fram mot en konklusjon.

Eksempel :

Påstand: ”Kvadratet av et partall er også et partall.”

Dersom vi plukker ut et vilkårlig tall p i mengden Z vet man at x = 2p alltid er et partall.

Vi kvadrerer og får:

<math> x^2 = (2p)^2 = 4p^2= 2(2p^2)</math>

Hvilket er et bevis for påstanden.

Indirekte bevis- kontrapositivt bevis

Ideen er å anta at konklusjonen er feil, og derved at premissene er feil. Det må da være feil at konklusjonen er feil.

Dersom man vil bevise at a medfører b, <math>a \Rightarrow b</math> er det likeverdig med å bevise

<math>ikke \quad b \Rightarrow \quad ikke \quad a</math>.

Eksempel Dersom produktet av to positive reelle tall er større en 100 så er minst en av faktorene større enn 10.

<math>xy > 100 \Rightarrow x \geq 10 \vee y \geq 10 </math>

Nå antar vi at begge faktorene er mindre eller lik 10:

<math> 0 < x \leq 10 \quad \wedge \quad 0 < y \leq 10 \quad \Rightarrow \quad xy \leq 10 \cdot 10 \quad \Rightarrow \quad xy \leq 100 </math>

Hvilket er et bevis for påstanden i begynnelsen av eksemplet.

Bevis ved moteksempel

Dersom man påstår: ” alle nordmenn har blå øyner” kan det være fornuftig å bruke denne teknikken dersom man ønsker å bevise at påstanden er feil.

Det er nok at man finner en nordmann som ikke har blå øyner for å bevise at ”alle nordmenn har blå øyner” er feil.

Man kan motbevise en påstand med et eksempel, men man kan aldri bevise en påstand med et eksempel (ikke med to eller flere heller).

Eksempel:

Vi har følgende påstand:

<math>x^2 =y^2 \Rightarrow x = y</math>

Sagt med ord utrykker påstanden at dersom kvadratet av et tall er lik kvadratet av et annet tall så impliserer det at det ene tallet er lik det andre tallet.

Dersom x = 2 og y = 2 stemmer begge sider av implikasjonen, men dersom x = 2 og y = - 2 stemmer bare venstre side. Høyre side er feil, og man har bevist at påstanden er feil.

---

Se også:

• Bevisføring

• Induksjonsbevis
• Bevis -derivasjon sinus
• Bevis av aritmetikkens fundamentalsetning
• Bevis for cosinussetningen
• Bevis for derivasjon av a^x
• Bevis for derivasjon av e^x
• Bevis for derivasjon av lg(x)
• Bevis for derivasjon av log x, vilkårlig base
• Bevis for derivasjon av produkt
• Bevis for derivasjon av tan(x)
• Bevis for potens derivasjon
• Bevis for at kvadratroten av 2 er irrasjonal

---