Derivasjonsregler: Forskjell mellom sideversjoner

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk
Ingen redigeringsforklaring
 
(74 mellomliggende versjoner av 4 brukere er ikke vist)
Linje 1: Linje 1:
Se også vår side om [[Derivasjon]]
Nedenfor følger en oversikt over de vanligste derivasjonsreglene for funksjoner med en [[variabel]].<p>
Nedenfor følger en oversikt over de vanligste derivasjonsreglene for funksjoner med en [[variabel]].<p>
==Potenser og polynomer==
<table border="1" cellpadding="10">
<table border="1" cellpadding="10">
<tr>
<tr>
   <td>'''TYPE'''</td>
   <th>'''TYPE'''</th>
   <td>'''FUNKSJON'''</td>
   <th>'''FUNKSJON'''</th>
   <td>'''DERIVERT''' </td>
   <th>'''DERIVERT''' </th>
  <th>'''EKSEMPEL''' </th>
</tr>
</tr>
<tr>
<tr>
   <td>Potenser<br></td>
   <td> Potensen <br>[[ Bevis for potens derivasjon]]<br></td>
   <td>f(x) = x<sup>n</sup></td>
   <td>f(x) = x<sup>n</sup></td>
   <td>f '(x) = nx<sup>n-1</sup></td>
   <td>f '(x) = nx<sup>n-1</sup></td>
  <td>(x3)=3x2</td>
</tr>
</tr>
<tr>
<tr>
Linje 18: Linje 25:
   <td> c  f(x) </td>
   <td> c  f(x) </td>
   <td>[c  f(x)]' = c f '(x) </td>
   <td>[c  f(x)]' = c f '(x) </td>
<td>(4x3)=43x2=12x2</td>
</tr>
</tr>
<tr>
<tr>
Linje 23: Linje 31:
   <td> f(x)= C  </td>
   <td> f(x)= C  </td>
   <td> C' = 0</td>
   <td> C' = 0</td>
  <td> (5)' = 0</td>
</tr>
</tr>
<tr>
<tr>
Linje 28: Linje 37:
   <td> f(x) = g(x)+ h(x) +...  </td>
   <td> f(x) = g(x)+ h(x) +...  </td>
   <td> f '(x) = g'(x) + h'(x) +... </td>
   <td> f '(x) = g'(x) + h'(x) +... </td>
  <td>(x34x2+2x1)=3x28x+2</td>
 
</tr>
<tr>
  <td>Kvadratrot  </td>
  <td> f(x)=x  </td>
  <td> f ' (x)=12x  </td>
  <td></td>
</tr>
<tr>
  <td>Nte'rot  </td>
  <td> f(x)=xnm=xnm  </td>
  <td> Se type: potenser  </td>
  <td></td>
</tr>
</table>
==Logaritme og eksponentialfunksjoner==
<table border="1" cellpadding="10">
<tr>
<td></td>
<td></td>
</tr>
</tr>
<tr>
<tr>
   <td> Eksponentialfunksjonen a<sup>x</sup> </td>
   <td> Eksponentialfunksjonen a<sup>x</sup>  
[[Bevis for derivasjon av a^x  | Bevis for derivasjon av ax ]]</td>
   <td> f (x) = a<sup>x</sup></td>
   <td> f (x) = a<sup>x</sup></td>
   <td> f '(x) = a<sup>x</sup>ln a</td>
   <td> f '(x) = a<sup>x</sup>ln a</td>
  <td></td>
</tr>
</tr>
<tr>
<tr>
   <td> Eksponentialfunksjonen e<sup>x</sup> </td>
   <td> Eksponentialfunksjonen e<sup>x</sup>
[[  Bevis for derivasjon av e^x | Bevis for derivasjon av ex ]] </td>
   <td> f (x) = e<sup>x</sup></td>
   <td> f (x) = e<sup>x</sup></td>
   <td> f '(x) = e<sup>x</sup></td>
   <td> f '(x) = e<sup>x</sup></td>
  <td></td>
</tr>
</tr>
<tr>
<tr>
   <td>Produkt<br>[[Bevis]]</td>
   <td>Logaritme funksjonen  <br> Logaritme uansett base y=logbx  <br> [[ Bevis for derivasjon av log x, vilkårlig base]]</td>
   <td> f(x)<tex>\cdot</tex>g(x) </td>
   <td> f(x) = ln |x| <br> $f(x) = log_b|x|$</td>
   <td>   [f(x)<tex>\cdot</tex>g(x)]'= f '(x)<tex>\cdot</tex>g(x)+ f(x)<tex>\cdot</tex>g '(x) </td>
   <td> f ' (x)=<math>\frac{1}{x}</math> <br>$f'(x) = \frac{1}{x \cdot ln(b)}$  </td>
  <td></td>
</tr>
</tr>
</table>
==Trigonometriske funksjoner==
<table border="1" cellpadding="10">
<tr>
<tr>
   <td> Sinus </td>
   <td> [[Sinus]] <br> [[Bevis -derivasjon sinus  ]]</td>
   <td> f(x) = sin x</td>
   <td> f(x) = sin x</td>
   <td>f'(x) = cos x </td>
   <td>f'(x) = cos x </td>
  <td></td>
</tr>
</tr>
<tr>
<tr>
Linje 54: Linje 104:
   <td> f(x) = cos x</td>
   <td> f(x) = cos x</td>
   <td>f'(x) = -sin x </td>
   <td>f'(x) = -sin x </td>
  <td></td>
</tr>
</tr>
<tr>
<tr>
   <td> Tangens </td>
   <td> Tangens <Br>  [[Bevis for derivasjon av tan(x) ]]</td>
   <td> f (x) = tan x</td>
   <td> f (x) = tan x</td>
   <td> <IMG SRC="der2.gif"></td>
   <td> <math>f ' (x)=\frac{1}{cos^2x}<Br></math>
eller
 
f(x)=1+tan2x  </td>
  <td></td>
</tr>
</table>
 
==Produkt, kvotient og kjerne==
<table border="1" cellpadding="10">
<tr>
  <td>Produkt<br>[[Bevis for derivasjon av produkt]]<br>[[Eksempel på derivasjon med produktregelen|Eksempel]]<br>Se video [http://youtu.be/t6Lu4vDVfhg]</td>
  <td> f(x)g(x)  </td>
  <td>  [f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x) </td>
  <td>   (4x3cos(x))=12x2cos(x)4x3sin(x)=4x2(3cos(x)xsin(x)) </td>
</tr>
</tr>
<tr>
<tr>
   <td> Kvotient </td>
   <td> Kvotient <br>
   <td><IMG SRC="der5.gif"> </td>
 
   <td><IMG SRC="der6.gif"> </td>
[[ Kvotient regel derivasjon-bevis]]</td>
   <td>  f  (x)=<math>\frac{g(x)}{h(x)}</math> </td>
  <td>    f ' (x)=<math>\frac{g ' (x)\cdot h(x)- g(x)\cdot h ' (x)}{(h(x))^2}</math> </td>
   <td><math>( \frac{sin x}{2x^3})' \ = \frac{cosx \cdot 2x^3 - 6x^2sinx}{4x^6}\ = \frac{xcosx-3sinx}{2x^4}</math> </td>
</tr>
</tr>
<tr>
<tr>
Linje 69: Linje 137:
   <td>y = g(u)<br>u er en funksjon av x </td>
   <td>y = g(u)<br>u er en funksjon av x </td>
   <td>y ' = g ' (u)∙u' </td>
   <td>y ' = g ' (u)∙u' </td>
  <td>(sin(x2))=2xcos(x2) </td>
</tr>
</tr>
<tr>
 
  <td>Logaritme funksjonen  </td>
 
  <td> f(x) = ln |x|</td>
 
  <td> f ' (x)=<tex>\frac{1}{x}</tex>    </td>
 
</tr>
 
<tr>
  <td>Kvadratrot  </td>
  <td> f(x)=<tex>\sqrt{n}</tex>  </td>
  <td> f ' (x)=<tex>\frac{1}{2\sqrt{n}}</tex>  </td>
</tr>


</table>
</table>
----
[[Category:derivasjon]]
[[Category:lex]]
[[Category:1T]]
[[Category:R1]]
[[Category:R2]]
[[Category:S1]]
[[Category:S2]]

Siste sideversjon per 16. des. 2021 kl. 07:58

Se også vår side om Derivasjon


Nedenfor følger en oversikt over de vanligste derivasjonsreglene for funksjoner med en variabel.

Potenser og polynomer

TYPE FUNKSJON DERIVERT EKSEMPEL
Potensen
Bevis for potens derivasjon
f(x) = xn f '(x) = nxn-1 (x3)=3x2
Konstant multiplisert
med funksjon
c f(x) [c f(x)]' = c f '(x) (4x3)=43x2=12x2
Konstant f(x)= C C' = 0 (5)' = 0
Polynom f(x) = g(x)+ h(x) +... f '(x) = g'(x) + h'(x) +... (x34x2+2x1)=3x28x+2
Kvadratrot f(x)=x f ' (x)=12x
Nte'rot f(x)=xnm=xnm Se type: potenser

Logaritme og eksponentialfunksjoner

Eksponentialfunksjonen ax

Bevis for derivasjon av ax
f (x) = ax f '(x) = axln a
Eksponentialfunksjonen ex

Bevis for derivasjon av ex
f (x) = ex f '(x) = ex
Logaritme funksjonen
Logaritme uansett base y=logbx
Bevis for derivasjon av log x, vilkårlig base
f(x) = ln |x|
f(x)=logb|x|
f ' (x)=1x
f(x)=1xln(b)

Trigonometriske funksjoner

Sinus
Bevis -derivasjon sinus
f(x) = sin x f'(x) = cos x
Cosinus f(x) = cos x f'(x) = -sin x
Tangens
Bevis for derivasjon av tan(x)
f (x) = tan x f(x)=1cos2x

eller

f(x)=1+tan2x

Produkt, kvotient og kjerne

Produkt
Bevis for derivasjon av produkt
Eksempel
Se video [1]
f(x)g(x) [f(x)g(x)]=f(x)g(x)+f(x)g(x) (4x3cos(x))=12x2cos(x)4x3sin(x)=4x2(3cos(x)xsin(x))
Kvotient
 Kvotient regel derivasjon-bevis
f (x)=g(x)h(x) f ' (x)=g(x)h(x)g(x)h(x)(h(x))2 (sinx2x3)=cosx2x36x2sinx4x6=xcosx3sinx2x4
Kjerneregel y = g(u)
u er en funksjon av x
y ' = g ' (u)∙u' (sin(x2))=2xcos(x2)