Andregradslikninger
Innledning
Fra siden om potenser vet vi at <math> x \cdot x = x^2</math>. Sagt med ord sier vi at "x multiplisert med seg selv er lik x i andre". Andregradsligninger inneholder alltid et ledd hvor <math> x^2</math> er en faktor.
En annengradslikning er en likning på formen <math>ax^2 + bx + c = 0</math>, der a, b og c er konstanter og <math>a \neq 0</math>. Konstantene til en annengradslikning kalles koeffisienter.
En fullstendig andregradslikning skrives på formen
<math> ax^2 + bx + c = 0</math>
- <math> ax^2 </math> kalles andregradsleddet
- <math> bx </math> kalles førstegradsleddet
- <math> c </math> kalles konstantleddet
Ufullstendig likning
Dersom a = 0 har vi en vanlig ligning som løses med metoden beskrevet i likninger med en ukjent.
Dersom b = 0 ser likningen slik ut:
<math> ax^2 + c = 0 </math>
Denne løses med "bytt og flytt", for så å ta kvadratrot.
<math> x = \pm \sqrt {- \frac {c}{a}} </math>
Legg merke til at <math>a</math> eller <math>c</math> (men ikke begge!) må være negativ for at denne likningen skal ha en løsning. Ellers tar vi kvadratroten av et negativt tall.
Eksempel
<math> 4x^2 - 8 = 0 </math>
<math> x = \pm \sqrt { \frac {8}{4}} </math>
<math> x = \sqrt {2}\qquad \vee \qquad x = - \sqrt {2} </math>
Dersom c = 0 har vi følgende formel:
<math> ax^2 + bx = 0 </math>
<math> x (ax + b) = 0 </math>
<math> x = 0 \qquad \vee \qquad ax + b = 0 </math>
<math> x = 0 \qquad \vee \qquad x = - \frac ba </math>
Eksempel:
<math> -3x^2 + 6x = 0 </math>
<math> x (-3x + 6) = 0 </math>
<math> x = 0 \qquad \vee \qquad -3x + 6 = 0 </math>
<math> x = 0 \qquad \vee \qquad x = 2</math>
Dette er spesialtilfeller av andregradslikninger fordi én av koeffisientene er lik null, slik at de mangler et ledd.
ABC formelen
En andregradslikning på formen <math> ax^2 + bx + c =0 </math> kan alltid løses ved hjelp av ABC - formelen, som ser slik ut:
<math> x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
Dersom <math> \sqrt{b^2-4ac} </math> er positiv vil likningen alltid ha to løsninger.
a, b og c er koefisienten i andregradsuttrykket. Legg merke til at dersom <math>b^2 - 4ac </math> er mindre enn null får man et negativt tall under rottegnet. Man sier da at ligningen ikke har noen løsning. (I høyere kurs har den det, komplekse løsninger).
Eksempel 1
Vi har likningen:
<math> 3x^2 + 2x - 1 =0</math>
a = 3 , b = 2 og c = -1
Ved å bruke abc-formelen får man:
<math> x= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}</math>
<math> x= \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{6}</math>
<math> x= \frac{-2 \pm 4}{6} </math>
<math> x= \frac{-2 + 4}{6} \qquad \vee \qquad x= \frac{-2 - 4}{6} </math>
<math> x= \frac{1}{3} \qquad \vee \qquad x = - 1 </math>
Eksempel 2
Vi har likningen:
<math> -x^2 + 4x - 4 =0</math>
a = -1 , b = 4 og c = -4
Ved å bruke abc-formelen får man:
<math> x= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \cdot (-1) \cdot (-4)}}{2 \cdot (-1)}</math>
<math> x= \frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{-2}</math>
<math> x = 2 </math>
Med null under rottegnet får man kun en løsning.
Eksempel 3
Vi har likningen:
<math> 3x^2 + 2x + 2 =0</math>
a = 1 , b = -2 og c = 2
Ved å bruke abc-formelen får man:
<math> x= \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}</math>
<math> x= \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2}</math>
<math> x= \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}</math>
Her ser man et man får et negativt tall under rottegnet. Da er det på tide å stoppe opp og konkludere med at ligningen ikke har løsning (enda).
Hvorfor har noen likninger to løsninger, noen en og andre ingen?
Dersom grafen til andregradspolynomet krysser x aksen har likningen to løsninger, g(x).Dersom grafen tangerer x-aksen har likningen en løsning, f(x). Dersom grafen til polynomet ikke krysser eller tangerer x-aksen, h(x), har likningen ingen løsning.
Eksempel 4
Vi har likningen:
<math> 4x^2 - 1 =0</math>
a = 4 , b = 0 og c = -1
Ved å bruke abc-formelen får man:
<math> x= \frac{ \pm \sqrt{-4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4}</math>
<math> x= \frac{ \pm \sqrt{16}}{8}</math>
<math> x=\pm \frac{ 4}{8} </math>
<math> x= \frac{1}{2} \qquad \vee \qquad x= - \frac{1}{2} </math>
Her mangler b leddet og det er ikke nødvendig å bruke abc formelen slik vi har gjort her, men den virker. Det enkleste i dette eksempelet er å bruke "bytt og flytt" og så ta kvadratroten, som vist over.
Eksempel 5
Vi har likningen:
<math> -3x^2 + 6x = 0</math>
a = -3 , b = 6 og c = 0
Ved å bruke abc-formelen får man:
<math> x= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2}}{-6}</math>
<math> x= \frac{-6 \pm 6}{-6}</math>
<math> x= 2 \qquad \vee \qquad x= 0 </math>
Man ser at abc-formelen virker her også, men siden c leddet mangler ville det være mer fornuftig å faktorisere ut x og løse likningene som vist over.
For de som lurer på hvor abc-formelen kommer fra har man følgende bevis:
Bevis for ABC formelen:
<math>ax^2 + bx + c = 0 </math>
<math> x^2 + \frac bax + \frac ca = 0</math>
<math> x^2 + \frac bax = - \frac ca</math>
<math> x^2 + 2\frac {b}{2a}x = - \frac ca</math>
<math> x^2 + 2\frac {b}{2a}x + (\frac {b}{2a})^2 = - \frac ca + (\frac {b}{2a})^2 </math>
<math> (x +\frac {b}{2a})^2 = - \frac ca + \frac {b^2}{4a^2} </math>
<math> (x +\frac {b}{2a})^2 = - \frac {4ac}{4a a} + \frac {b^2}{4a^2} </math>
<math> (x +\frac {b}{2a})^2 = \frac {-4ac+b^2}{4a^2} </math>
<math> (x +\frac {b}{2a}) = \sqrt{\frac {b^2 -4ac}{4a^2}} \qquad \vee \qquad (x +\frac {b}{2a}) = - \sqrt{\frac {b^2 -4ac}{4a^2}}</math>
<math> x = -\frac {b}{2a} + {\frac {\sqrt {b^2 -4ac}}{2a}} \qquad \vee \qquad x = - \frac {b}{2a} -{\frac {\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}}</math>
<math> x = \frac {-b + \sqrt {b^2 -4ac}{2a}} \qquad \qquad \vee \qquad x = \frac {-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}</math>
<math> x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
Fullstendig kvadrat
Man kan bygge opp et fullstendig kvadrat ved å halvere, kvadrere, addere.....
For å kunne bruke teknikken må du kunne kvadratsetningene godt.
Her er hvordan det gjøres:
Eksempel
Vi har likningen:
<math> 2x^2 - 3x +1 =0</math>
<math> x^2 - \frac 32 x + \frac 12 =0</math>
<math> x^2 - \frac 32 x = - \frac 12</math>
<math> x^2 - \frac 32 x = - \frac 12</math>
<math> x^2 - \frac 32 x + ( \frac 34)^2 = - \frac 12 + ( \frac 34)^2</math>
<math> (x - \frac 34)^2 = \frac {1}{16}</math>
<math> x - \frac 34 = \sqrt{ \frac {1}{16}}\qquad \vee \qquad x - \frac 34 = -\sqrt{ \frac {1}{16}}</math>
<math> x = 1\qquad \vee \qquad x = \frac {1}{2}</math>
Dersom du sliter med algebra bør du kanskje holde deg til abc-formelen, men dersom du har oversikt og har ambisjoner om femmere og seksere er metoden med fullstendig kvadrat noe du bør beherske.
Andregradsligninger på produktform
Man kan ha andregradsligninger på formen:
$(x + 1)(x – 2) = 0$
Du ser at dette er en andregradsligning om du multiplisere ut parentesene:
$(x + 1)(x – 2) = x2 -2x +x – 2 = x2 – x – 2 $
Man kan multiplisere ut faktorene som vist over og bruke abc – formelen, men det finnes en mye enklere måte å løse ligningen på:
Dersom produktet av to faktorer skal bli null, må en av faktorene være null.
$mn = 0$ medfører at $m$ eller $n$ må være lik null, om utsagnet skal være riktig.
I eksemplet
$(x + 1)(x – 2) = 0$
betyr det at $x+1 = 0$ , eller at $x – 2 = 0$
Det gir løsningene $x = -1$ V $x = 2$
Problemet er redusert til løsninger av to enkle førstegradsligninger.
Faktorisering av andregradsuttrykk
<math>ax^2 + bx + c</math> er et generelt andregradsuttrykk. Ofte har man behov for å faktorisere uttrykket for å kunne forkorte og forenkle.
Man har følgende formel for faktorisering av andregradsuttrykk:
<math> ax^2 + bx + c = a( x-x_1)(x-x_2) </math>
Der <math> x_1 </math> og <math> x_2 </math> er løsninger av <math>ax^2 + bx + c = 0</math>
Eksempel :
Faktoriser <math> 6x^2-4x-2</math>
Løser først <math> 6x^2-4x-2=0</math> og får (abc – formelen)
<math> x_1 = 1 \qquad \vee \qquad x_2 = - \frac13</math>
Bruker så formelen over og får:
<math> 6x^2-4x-2= a( x-x_1)(x-x_2) = 6(x-1)(x + \frac 13) </math>
Dette er spesielt nyttig (helt nødvendig) når man skal forkorte brøker som inneholder andregradspolynomer.
Eksempel :
Sriv enklest mulig:
<math> \frac{6x^2-4x-2}{x + \frac13}</math>
Faktorisere og får:
<math> \frac{6(x-1)(x + \frac 13)}{x + \frac13} = 6(x-1)</math>
Sum og produkt av røtter
Man har følgende sammenhenger mellom sum og produkt av røtter (løsninger):
En fullstendig andregradslikning skrives på formen <math> ax^2 + bx + c = 0</math>
<math> x_1 +x_2 =- \frac ba </math> og <math> x_1 \cdot x_2 = \frac ca </math>
der <math>x_1</math> og <math>x_2</math> er røtter (løsninger) i ligningen.
Eksempel
Vi ønsker å finne et andregradsutryk som har røttene x = -2 og x = 1.Utover det har vi ingen andre krav.
Vi får:
<math> x_1 +x_2 =- \frac ba </math>
<math> -2 + 1 =- \frac ba </math>
<math> a = b </math>
Siden vi ikke har krav til koefisientene kan vi jo velge a = 1. Da får vi:
<math> a = 1 </math>
<math> b = 1 </math>
og <math> -2 \cdot 1 = \frac ca </math>
<math> c = - 2 </math>
Vi får da likningen
<math> x^2 + x - 2 = 0</math>
Ved å bruke abc-formelen ser man at dette er en (av mange) likninger som har løsning for x =1 og for x = -2.
Dersom man anvender disse formlene og finner en ligning må man sjekke at den virkelig har løsninger.