Separable differensiallikninger

En separabel differensialligning er en førsteordens ligning på formen <tex>f^,(x)=g(x)h(f)</tex> der <tex>g</tex> og <tex>h</tex> er gitte funksjoner. Disse kan løses generelt (og formelt) ved å innføre Leibniz notasjonen; i.e. <tex>f^,(x)\to \frac{df}{dx}</tex>; vi "jukser" litt ved å betrakte <tex>\frac{df}{dx}</tex> som en brøk i tradisjonell forstand.

Den generelle løsningsmetoden for separable diff.ligninger blir da:

<tex>\frac{df}{dx}=g(x)h(f) \, \, \Rightarrow \,\, \frac{df}{h(f)}=g(x)dx \,\, \Rightarrow \,\, \int\frac{df}{h(f)}=\int g(x)\,dx </tex>

Løser vi integralene har vi i prinsippet løst diff.ligningen.

Eksempel

Vi ser på ligningen <tex>f^,=xf^2</tex>. Denne er separabel med <tex>g(x)=x</tex> og <tex>h(f)=f^2</tex> (sammenlignet med den generelle formen). Vi må derfor løse ligningen <tex>\int \frac{df}{f^2}=\int x\,dx</tex>. Integralene blir <tex>\int \frac{df}{f^2}=\int f^{-2}\,df=-f^{-1}+A</tex> og <tex>\int x\,dx=\frac12 x^2+B</tex> for konstanter <tex>A</tex> og <tex>B</tex>. Setter vi uttrykkene lik hverandre får vi <tex>-\frac{1}{f}+A=\frac12 x^2+B</tex>. Vi sammentrekker konstantene ved å sette <tex>B-A=C</tex>, og får <tex>-\frac{1}{f}=\frac12 x^2+C</tex>. Løsningen blir dermed <tex>f(x)=-\frac{1}{\frac12 x^2+C}</tex>

Vi verifiserer løsningen ved innsetting i den opprinnelige ligningen; <tex>(-\frac{1}{\frac12 x^2+C})^,=(\frac{1}{\frac12 x^2+C})^2\cdot x=xf^2</tex>.