Separable differensiallikninger

En separabel differensialligning er en førsteordens ligning på formen <math>f'(x)=g(x)h(f)</math> der <math>g</math> og <math>h</math> er gitte funksjoner. Disse kan løses generelt (og formelt) ved å innføre Leibniz notasjonen; i.e. <math>f'(x)\to \frac{df}{dx}</math>; vi "jukser" litt ved å betrakte <math>\frac{df}{dx}</math> som en brøk i tradisjonell forstand. (Merk at dette ikke er et formelt bevis, men en fin måte å huske metoden på)

Den generelle løsningsmetoden for separable diff.ligninger blir da:

<math>\frac{df}{dx}=g(x)h(f) \, \, \Rightarrow \,\, \frac{df}{h(f)}=g(x)dx \,\, \Rightarrow \,\, \int\frac{df}{h(f)}=\int g(x)\,dx </math>

Løser vi integralene har vi i prinsippet løst diff.ligningen.

Eksempel

Vi ser på ligningen <math>f'=xf^2</math>. Denne er separabel med <math>g(x)=x</math> og <math>h(f)=f^2</math> (sammenlignet med den generelle formen). Vi må derfor løse ligningen <math>\int \frac{df}{f^2}=\int x\,dx</math>. Integralene blir <math>\int \frac{df}{f^2}=\int f^{-2}\,df=-f^{-1}+A</math> og <math>\int x\,dx=\frac12 x^2+B</math> for konstanter <math>A</math> og <math>B</math>. Setter vi uttrykkene lik hverandre får vi <math>-\frac{1}{f}+A=\frac12 x^2+B</math>. Vi sammentrekker konstantene ved å sette <math>B-A=C</math>, og får <math>-\frac{1}{f}=\frac12 x^2+C</math>. Løsningen blir dermed <math>f(x)=-\frac{1}{\frac12 x^2+C}</math>

Vi verifiserer løsningen ved innsetting i den opprinnelige ligningen; <math>(-\frac{1}{\frac12 x^2+C})'=(\frac{1}{\frac12 x^2+C})^2\cdot x=xf^2</math>.