Potenslikninger

Med potensligninger menes ligninger som har et ledd med x som grunntall og et tall som eksponent.

Andregradslikninger er av denne typen, men det finnes også andre. Vi ser på noen spesielle tilfeller her.

Likninger med ett ledd, eksponent er heltall

I sin enkleste form kan ligningen se slik ut:

Løsningen på ligningen finnes ved å ta tredjeroten på begge sider.

Dersom ligningen kun har ledd av samme grad, og disse er heltall løses ligningen ved å ordne den slik at x leddet kommer på venstre side og konstantleddet på høyre side av likhetstegnet. Man tar så roten på begge sider.

<tex> ax^n =b</tex>

<tex> x = \sqrt[n]{\frac ba}</tex>

Dersom n er partall må man huske at ligningen har både en positiv og negativ løsning for x.

Eks:

Flerleddede likninger

Det er mulig å løse tredje og fjerdegradslikninger analytisk. Det ligger langt utenfor pensum og vi skal ikke gjøre det her.

Dersom ligningen består av flere ledd med forskjellige grader der høyeste grad er større enn to får vi normalt problemer med å løse ligningen (på videregående skolenivå). Det finnes enkelte unntak. Dersom vi har ligningen:

x6- 6x3 – 16 = 0

kan den løses ved å ”omforme” den til en andregradsligning. Vi setter u = x3 (kalles substitusjon) og får:

u2 - 6u – 16 = 0

u = 8 V u = - 2

Nå går man tilbake til substitusjonen og får

x3 = 8 eller x3 = - 2

x = 2 eller x = - 1,26

Så langt har vi sett på potensligninger der eksponenten er et heltall. Det er ikke alltid tilfellet.

Eksponenten som desimaltall

Vi kan for eksempel ha en ligning som denne:

x 1,27 = 3

Her observerer vi at eksponenten er et desimaltall. Ligningen løses ved å anvende reglene for potensregning.

<tex> x^{1,27} = 3 </tex>

<tex> x^{\frac{1,27}{1}}=x^{\frac{127}{100}} = 3 </tex>

<tex> (x^{\frac{127}{100}})^{\frac{100}{127} = 3^{\frac{100}{127} </tex>

<tex> x = 2,37 </tex>