Potenslikninger
Med potenslikninger menes likninger som har et ledd med den ukjente x som grunntall i potenser.
Dersom potenseksponentene er heltall, sier vi at graden til likningen er lik den høyeste eksponenten til den ukjente i likningen. For eksempel vil en andregradslikninger ha som høyeste eksponent tallet 2.
En andregradslikning er en potenslikning, men det finnes også andre typer. Vi ser på noen spesielle tilfeller her.
Likninger med ett ledd der eksponenten er heltall
I sin enkleste form kan likningen se slik ut:
- <math>x^3 = 8</math>
Løsningen på likningen finnes ved å ta tredjeroten på begge sider.
Dersom likningen kun har ledd av samme grad, og disse er heltall, løses likningen ved å ordne den slik at x-leddet kommer på venstre side og konstantleddet på høyre side av likhetstegnet. Man tar så roten på begge sider.
<math> ax^n =b</math>
<math> x = \sqrt[n]{\frac ba}</math>
Dersom n er partall må man huske at likningen har både en positiv og negativ løsning for x.
Eks:
<math> 3x^6 + x^6 - 4 = 252</math>
<math> 4x^6 = 256</math>
<math> 4x^6 = 256</math>
<math> x^6 = 64</math>
<math> x = \pm \sqrt[6]{64}</math>
<math> x = \pm 2</math>
<math> x^6 + 6x^3 - 16 = 0</math>
<math> u = x^3</math>
<math> u^2 + 6u - 16 = 0</math>
<math> u = 8 \qquad \vee \qquad u = -2</math>
<math> x^3 = 8 \qquad \vee \qquad x^3 = -2</math>
<math> x = 2 \qquad \vee \qquad x = -1,26</math>
Flerleddede likninger
Det er mulig å løse tredje og fjerdegradslikninger analytisk. Det ligger langt utenfor pensum og vi skal ikke gjøre det her.
Dersom likningen består av flere ledd med ulik grad, der høyeste grad er større enn to, så får vi normalt problemer med å løse likningen (på videregående skolenivå). Det finnes enkelte unntak. Dersom vi har likningen:
- <math>
x^6- 6x^3 – 16 = 0, </math>
så kan den løses ved å ”omforme” den til en andregradslikning: Vi setter <math>u = x^3</math> (kalles substitusjon) og får:
- <math>
u^2 - 6u – 16 = 0 . </math>
Denne likningen har løsninger u = 8 og u = -2 Nå går man tilbake til substitusjonen og får
- $x^3 = 8$ eller $x^3 = - 2$.
For den ukjente x gir dette x = 2 eller x = - 1,26.
Eksponenten som desimaltall
Så langt har vi sett på potenslikninger der eksponenten er et heltall. Det er ikke alltid tilfellet. Vi kan for eksempel ha en likning som denne:
- <math> x^{1,27} = 3 </math>
Her observerer vi at eksponenten er et desimaltall. likningen løses ved å anvende reglene for potensregning.
\[ \begin{aligned} x^{1,27} &= 3 \\ x^{\frac{1,27}{1}} &= x^{\frac{127}{100}} = 3 \\ (x^{\frac{127}{100}})^{\frac{100}{127}} &= 3^{\frac{100}{127}} \\ x &= 2,37 \end{aligned} \]