Integrasjon

I læren om integraler tas det i bruk noe mer avanserte konsepter enn man ellers finner i videregåendematematikken. Dette spesiellt i forbindelse med definisjonene rundt integrasjon. Det er derfor viktig å beherske både funksjonslære, derivasjon og algebra før man gir seg i kast med integrasjonsdelen av R2-pensumet.

---

Integrasjon er en operasjon som tar en funksjon og gir en ny funksjon som beskriver arealet under den første funksjonen.

Det bestemte integralet

Med det bestemte integalet av en funksjon vil vi finne arealet under funksjonen avgrenset av <tex>x</tex>-aksen og linjene <tex>x=a</tex> og <tex>x=b</tex>. "Det bestemte integralet av <tex>f(x)</tex> fra <tex>a</tex> til <tex>b</tex>" skriver vi som

<tex>\int_a^b f(x)\rm{d}x</tex>

Bestemt integral som grenseverdi

Vi kan se for oss arealet under en graf som en sum av rektangler, der antallet rektangler angir nøyaktigheten av integralet.

Dersom vi vil integrere <tex>f(x)</tex> fra <tex>x=a</tex> til <tex>x=b</tex> og lar rektanglene ha bredde <tex>\Delta x=\frac{b-a}{n}</tex>, får vi at

<tex>A=\sum_{i=0}^n f(a+i\Delta x)\cdot \Delta x=\sum_{i=0}^n f\left( a+i\frac{b-a}{n}\right)\frac{b-a}{n}</tex>

Når vi lar <tex>\Delta x</tex> gå mot null, dvs at vi lar <tex>n</tex> gå mot uendelig, får vi det nøyaktige arealet under kurven:

<tex>\int_a^b f(x)\rm{d}x=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^n f\left( a+i\frac{b-a}{n}\right)\frac{b-a}{n}</tex>

Ubestemt integrasjon

I kalkulusen finnes et fundamentalteorem som relaterer operasjonene integrasjon og derivasjon med hverandre. Teoremet er delt inn i to deler, som ofte kalles kalkulusens første og andre fundamentalteorem.

Kalkulusens første fundamentalteorem sier at for en reell funksjon <tex>F(x)</tex> er definert på intervallet <tex>[a,b]</tex> ved

<tex>F(x)=\int_a^x f(t)\rm{d}t</tex>

der <tex>f(t)</tex> er en reell funksjon som er kontinuerlig på intervallet <tex>[a,b]</tex>. Da er <tex>F(x)</tex> kontinuerlig på <tex>[a,b]</tex> og deriverbar på <tex>(a,b)</tex>, og man kan vise at <tex>\frac{d}{dx}F(x)=f(x)</tex>, og vi skriver at

<tex>\int f(x)\rm{d}x=F(x)</tex>

Kalkulusens andre fundamentalteorem sier at

<tex>\int_a^b f(x)\rm{d}x=F(b)-F(a)</tex>

<tex>F(a)-F(b)</tex> er lik arealet mellom <tex>x</tex>-aksen og funksjonen <tex>f(x)</tex> mellom <tex>x=a</tex> og <tex>x=b</tex>.

Her skal vi vise geometrisk at <tex>\frac{d}{dx}F(x)=f(x)</tex>:

Bevis: Den deriverte av den integrerte er funksjonen selv

La <tex>f(x)</tex> være en reell funksjon <tex>(f(x)\in\mathbb{R}\,\forall\, x\in \mathbb{R})</tex>, og la funksjonen <tex>A(x)</tex> beskrive arealet mellom <tex>x</tex>-aksen og <tex>f(x)</tex> ved at <tex>A(b)-A(a)</tex> er lik arealet mellom <tex>x</tex>-aksen og <tex>f(x)</tex> mellom <tex>x=a</tex> og <tex>x=b</tex>. Mellom <tex>x</tex> og <tex>x+\Delta x</tex> vil aralet altså være <tex>A(x+\Delta x)-A(x)</tex>, se figur:

I grenseverdien når <tex>\Delta x\to 0</tex> vil dette arealet bli tilnærmet et rektangel. Arealet av et rektangel er gitt ved

<tex>A=l\cdot b</tex>

og arealet at dette rektangelet ser vi ut ifra figuren blir <tex>f(x)\cdot \Delta x</tex>. Dermed kan vi konkludere at

<tex>f(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</tex>

Men dette kjenner vi som definisjonen av den deriverte. Altså kan vi skrive at

<tex>f(x)=\frac{d}{dx}A(x)</tex>

Vi har dermed bevist at derivasjon og integrasjon er inverse operasjoner av hverandre, det vil si at

<tex>\frac{d}{dx}\int f(x)\rm{d}x=f(x)</tex>

Når vi antideriverer en funksjon, dvs at vi tar det ubestemte integralet av funksjonen, får vi altså funksjonen <tex>F(x)</tex> som inngår i fundamentalteoremet.

Formler for integrasjon

<tex>\begin{tabular}{c|c c} f(x) & \int f(x)\rm{d}x & \, \\ x^n & \frac{x^{n+1}}{n+1} & x\neq -1 \\ \frac1x & \ln\,x & \, \\ a^x & \frac{1}{\ln\,a}a^x & a\neq 1 \\ e^{kx} & \frac1k e^{kx} & k\neq 0 \\ \sin\,x & -\cos\,x & \, \\ \cos\,x & \sin\,x & \, \end{tabular}</tex>

Integrasjonskonstanten

Ettersom den deriverte av en konstant funksjon er lik null, må vi legge til en vilkårlig konstant til den integrerte av en funksjon.

Eksempel: Integrasjonskonstant

Vi tar for oss integralet

<tex>I=\int x\rm{d}x</tex>

Vi vet at <tex>\frac{d}{dx}\frac12x^2=x</tex>, men siden <tex>\frac{d}{dx}C=0</tex>, der <tex>C</tex> er en konstant, må vi legge denne til. Svaret blir altså

<tex>I=\int x\rm{d}x=\frac12x^2+C</tex>

Merk at integrasjonskonstanten blir kansellert når <tex>F(x)</tex> brukes i sammenheng med det bestemte integralet. Det viser at verdien til <tex>C</tex> er vilkårlig.

Integrasjon ved variabelskifte

I derivasjon sier kjerneregelen at

<tex>\frac{d}{dx}f(u)=\frac{du}{dx}\frac{d}{du}f(u)</tex>

Dermed følger det at

<tex>\int \frac{du}{dx}f(u)\rm{d}x=\int f(u)\rm{d}u</tex>

Relasjoner mellom differensialer

En generell substitusjon er

<tex>f(x)=g(u)</tex>

Vi vil finne relasjonen mellom differensialene <tex>\rm{d}x</tex> og <tex>\rm{d}u</tex> slik at vi kan foreta et variabelskifte.

Dersom vi deriverer begge funksjonene mhp. x, får vi, ifølge kjerneregelen,

<tex>\frac{df(x)}{dx}=\frac{dg(u)}{du}\frac{du}{dx}</tex>

Vi ser dermed at relasjonen mellom differensialene er

<tex>\rm{d}x\frac{df(x)}{dx}=\rm{d}u\frac{dg(u)}{du}</tex>

eller

<tex>f^\prime (x)\rm{d}x=g^\prime (u) \rm{d}u</tex>

Eksempel: Variabelskifte

Vi har integralet

<tex>I=\int \frac{\ln\,x}{2x}\rm{d}x</tex>

Vi observerer at <tex>\frac{d}{dx}\ln\,x=\frac{1}{x}</tex> og at begge disse er med i integranden. En god substitusjon her er derfor <tex>\ln\,x=u</tex>. Vi finner relasjonen mellom differensialene slik at vi kan gjennomføre variabelskiftet fra <tex>x</tex> til <tex>u</tex>.

<tex>\frac{d}{dx}\ln\,x=\frac{du}{dx}\,\Leftrightarrow\,\frac{1}{x}\rm{d}x=\rm{d}u\,\Leftrightarrow\,\rm{d}x=x\rm{d}u</tex>

Vi erstatter <tex>\ln\,x</tex> med <tex>u</tex> og <tex>\rm{d}x</tex> med <tex>x\rm{d}u</tex> i integranden. Da får vi

<tex>I=\int \frac{u}{2x}x\rm{d}u=\int\frac{1}{2}u\rm{d}u=\frac12\int u\rm{d}u=\frac14u^2+C</tex>

Vi substituerer tilbake fra <tex>u</tex> til <tex>x</tex> for å få svaret. <tex>u=\ln\,x</tex>, så

<tex>I=\frac14(\ln\, x)^2+C</tex>

Delvis integrasjon

Vi kjenner allerede produktregelen fra dervasjon:

<tex>\frac{d}{dx}uv=u\frac{d}{dx}v+v\frac{d}{dx}u</tex>

Delvis integrasjon er produktregelen på integralform. Her skal vi utlede delvis integrasjon fra produktregelen:

Utleding av delvis integrasjon fra produktregelen

Vi starter med produktregelen

<tex>(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime</tex>

og trekker fra <tex>u\prime v</tex> på hver side av likhetstegnet:

<tex>uv^\prime=(uv)^\prime-u^\prime v</tex>

Så integrerer vi:

<tex>\int uv^\prime \rm{d}x=\int (uv)^\prime-u^\prime v \rm{d}x=\int (uv)^\prime \rm{d}x-\int u^\prime v \rm{d}x=uv-\int u^\prime v \rm{d}x</tex>

<tex>\int uv^\prime \rm{d}x=uv-\int u^\prime v \rm{d}x</tex>

Produktregelen kan også skrives slik:

<tex>\int u\rm{d}v=uv-\int v\rm{d}u</tex>

ved at <tex>\frac{dv}{dx}\rm{d}x=\rm{d}v</tex> og <tex>\frac{du}{dx}\rm{d}x=\rm{d}u</tex>.

---

Tilbake til R2 Hovedside