Eksempel på derivasjon med produktregelen

Eksempler for derivering med produktregelen.

<tex>\big[f(x)\cdot g(x)\big]^{\small\prime} = f^{\small\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\small\prime}(x)</tex>

Eksempel 1

La oss si vi ønsker å derivere funksjonen <tex>2x\cdot \text{e}^x</tex>. Dette kan vi tenke på som to funksjoner som ganges sammen.

Vi setter <tex>f(x) = 2x</tex> og <tex>g(x) = \text{e}^x</tex>. Vi deriverer funksjonene hver for seg: <tex>f^{\small\prime}(x) = 2</tex>, og <tex>g^{\small\prime}(x) = \text{e}^x</tex>.

Produktregelen sier:

<tex>\big[f(x)\cdot g(x)\big]^{\small\prime} = f^{\small\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\small\prime}(x)</tex>

Vi setter inn funksjonene f og g, og de deriverte f' og g'.

<tex>\big[2x\cdot \text{e}^x\big]^{\small\prime} \;=\; 2\cdot \text{e}^x + 2x\cdot \text{e}^x \;=\; \underline{\underline{\text{e}^x\big(2+2x\big)}}</tex>

Eksempel 2

Noen ganger bruker vi produktregelen flere ganger. Det er vi nødt til hvis vi vil derivere uttrykk av formen <tex>2x\cdot\text{e}^x\cdot\cos(x)</tex>.

Her tenker vi på <tex>f(x) = 2x\cdot\text{e}^x</tex> og <tex>g(x) = \cos(x)</tex>.

Vi deriverer funksjonene f og g hver for seg. Siden f(x) er et produkt må den deriveres med produktregelen, men det gjorde vi i eksempel 1.

Vi har <tex>f^{\small\prime}(x) = 2\text{e}^x + 2x\text{e}^x</tex> og <tex>g^{\small\prime}(x) = -\sin(x)</tex>

Produktregelen sier:

<tex>\big[f(x)\cdot g(x)\big]^{\small\prime} = f^{\small\prime}(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g^{\small\prime}(x)</tex>

Vi setter inn funksjonene f og g, og de deriverte f' og g'.

<tex>\big[2x\cdot\text{e}^x\cdot\cos(x)\big]^{\small\prime} \;=\; \big(2\text{e}^x + 2x\text{e}^x\big)\cos(x) + \big(2x\cdot\text{e}^x\big)\big(-\sin(x)\big) \;=</tex>

<tex>2\text{e}^x\cos(x) + 2x\text{e}^x\cos(x) - 2x\text{e}^x\sin(x) \;=\; \underline{\underline{2\text{e}^x\big(cos(x) + x\cos(x) - x\sin(x)\big)}}</tex>