1T 2021 vår LK20 LØSNING
Eksamen 1T vår 2021 LK20 Fagfornyelsen
Diskusjon av oppgaven på matteprat
Løsning laget av Kristian Saug
Oppgavetype 1
I oppgavetype 1 skal du bare oppgi svaret, uten begrunnelse. Vi gir allikevel en liten begrunnelse her, for å forstå hvordan vi har kommet frem til svaret.
Oppgave 1
Svar: $a=-1$
Begrunnelse: Vi har $f(x) = ax+8$, og punktet $(4,4)$. Løser likningen $f(4)=4$.
$a\cdot 4 + 8 = 4 $
$ 4a = 4-8 $
$ a = \frac{-4}{4}$
$ a = -1 $
Oppgave 2
Svar: $BC = 6$
Begrunnelse: $sin\,A = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}=\frac{6}{10} \quad \Rightarrow \quad BC = 6$
Oppgave 3
Svar: $k=-2$
Begrunnelse:
Ser at $x=2$ er løsningen for $x^3+x^2-2x-8=0$. Da må k være lik -2.
Oppgave 4
Svar: $k=-1$
Begrunnelse: Dersom likningen bare har ett svar, er diskriminanten i andregradsformelen lik 0.
$(2k)^2-4\cdot 1\cdot (-2k-1)=0$
$4k^2+8k+4=0$
$4(k^2+2k+1)=0$
$k=-1$
Oppgave 5
Svar: 280 km
Begrunnelse:
$A(x)=1200$
$B(x)=\frac{10}{4} x+500$
Setter A(x)=B(x):
$\frac{10}{4} x+500 = 1200$
$x=\frac{700\cdot 4}{10}$
$x=280$
Oppgave 6
Svar: Alternativ 2, $\frac{m}{n}<\frac{m+2}{n+2}$, er riktig.
Begrunnelse: Siden $m,n\in \mathbb{N}$, det vil si er naturlige tall, altså positive hele tall som 1,2,3... og $n>m$ har vi $0<\frac{m}{n}<1$ for alle verdier av $m$ og $n$. Dersom både $m$ og $n$ øker med 2, vil forholdet mellom disse tallene bli større (telleren vil utgjøre en større andel av nevneren). Du kan selv teste det med noen enkle tall.
Oppgave 7
Svar: $a=20$
Begrunnelse:
$f(x)=-5x^2+ax+1$
$f'(x)=-10x+a$
Toppunktet er i $x=2$, setter $f'(2)=0$
$-10\cdot 2+a=0$
$a=20$
Oppgave 8
Svar: $r=16, s=2, t=4$
Begrunnelse:
Dette følger av første kvadratsetning. vi har $4x^2+16x+16=(2x)^2+2\cdot 2x\cdot 4+4^2=(2x+4)^2$
Oppgavetype 2
I oppgavetype 2 skal du vise utregninger, forklare framgangsmåter du har brukt, og begrunne resultater.
Oppgave 9
a)
Skriver tabellen i regnearket på Geogebra, og utfører en regresjonsanalyse. Velger eksponentiell modell.
Modellen for temperaturen T i geleen, x minutter etter avkjøling er: $T(x)=92.5\cdot 0.99^x$
b)
Temperaturen i geleen vil ikke bli lavere enn romtemperaturen, altså 20 grader Celsius. Bruker Geogebra til å finne ut hvor mange minutter det tar før geleen er 20 grader, ved å skrive y=20 og bruke "skjæring mellom to objekt" mellom denne linja og grafen til T. Det tar 155,7 minutter før temperaturen i geleen har nådd 20 grader.
Gyldighetsområdet til modellen er $x\in [0,155.7]$
Oppgave 10
Funksjonen $f(x)=x^2-x-6$ har to nullpunkter, x=-2 og x=3. Skissen viser grafen til denne funksjonen.
Skissen kan brukes til å se at ulikheten $x^2-x-6>0$ har løsningene x<-2 og x>3 (de områdene hvor grafen er over x-aksen).
Dette er samme løsninger som for ulikheten $x^2-x>6$.
Oppgave 11
Bruker regresjonsanalyse i Geogebra til å finne et uttrykk for antall fyrstikker f som funksjon av figurnummer x.
$f(x)=2x^2+2x$
a)
Bruker Excel til å lage en oversikt over antall fyrstikker brukt per figur (bruker da funksjonen jeg fant i Geogebra), og en oversikt over antall fyrstikker brukt totalt. Jeg har bare 10000 fyrstikker totalt, og ser at jeg da kan lage 23 figurer.
b)
Jeg har 10000-9200 = 800 fyrstikker igjen etter å ha laget den siste figuren.
Oppgave 12
Bruker regresjonsanalyse i Geogebra.
a)
$y=-12x+280$ er en lineær modell som viser hvor mange kaniner det vil være i området om x måneder.
b)
$y = 280\cdot 0.907^x$ er en eksponentiell modell som viser hvor mange kaniner det vil være i området om x måneder.
Oppgave 13
Bruker CAS i Geogebra.
Linje 1: definerer f(x)
Linje 2: Finner x-verdien til punktene hvor den deriverte har verdi 1/2 (stigningstallet til tangenten er 1/2).
Linje 3 og 5: finner uttrykket for tangenten i de to punktene hvor stigningstallet til tangenten er 1/2.
Linje 4 og 6: finner skjæringspunktet til tangentene med x-aksen (y-verdien er lik 0).
Svar: $x=-\sqrt{2}+2$ og $x=\sqrt{2}+2$
Oppgave 14
a)
Bruker CAS i Geogebra til å sjekke sammenhengen mellom nullpunktene til f og g i det gitte eksempelet.
Her ser det ut som nullpunktene til g har inverse verdier av nullpunktene til f. Men det kan også se ut som nullpunktene til f er 6 ganger større enn nullpunktene til g. Jeg tester med flere eksempler.
I oppgave b skal jeg finne ut om dette gjelder for alle slike polynomer.
b)
Bruker CAS i Geogebra til å sjekke sammenhengen mellom nullpunkter for alle slike polynomer med "omvendt rekkefølge" på koeffisientene a,b og c. Ser at for alle koeffisienter, så er forholdet mellom nullpunktene til to slike polynomer, at nullpunktene til funksjonen h, er $\frac{c}{a}$ ganger nullpunktene til funksjonen i.
