1T 2018 vår LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsning laget av LektorNilsen


DEL EN

Oppgave 1

[5x+2y=43x+4y=6]

Ganger første likning med -2 for å bruke addisjon, slik at y forsvinner.

[10x4y=83x+4y=6]

Legger likningen sammen og får

7x=14x=2

Setter x = 2 inn i første likning og får at y er:

5x+2y=410+2y=42y=6y=3

Løsning: x=2y=3

Oppgave 2

310x=300010x=1000xlg10=lg1000x1=lg1000x=3

Oppgave 3

(0,5106)20,2104+3105=0,2510122105+3105=2510105105=51015

Oppgave 4

15548=355443=5343=3

Oppgave 5

lg1000lg103lg1025lg0,00001=lg103lg1013lg1025lg105=31325(5)=2

Oppgave 6

a)

x(x+2)(x4)=x(x24x+2x8)=x(x22x8)=x32x28x

b)

x32x28x=0x(x+2)(x4)=0x=2x=0x=4

Oppgave 7

x22x8=0(x+2)(x4)=0x=2x=4

x22x80 for x<2 og x>4

Oppgave 8

Bruker abc-formelen x=bb24ac2a for å finne funksjonens nullpunkter, a=1, b=k, c=4.

x2+kx+4=0x=kk241421x=kk2162

Dersom likningen er uløselig, har grafen til f ingen skjæringspunkter med x-aksen (dvs. ingen nullpunkter). Dette skjer dersom verdien under kvadratroten er negativ, siden kvadratroten av et negativt tall ikke gir noen reelle løsninger.

Dersom verdien under kvadratroten er 0, får likningen bare én løsning, og grafen til f bare ett skjæringspunkt med x-aksen (dvs. ett nullpunkt).

Dersom verdien under kvadratroten er positiv, får likningen to løsninger, og grafen til f to skjæringspunkter med x-aksen (dvs. to nullpunkt).

Vi løser likningen k216=0 for å finne hvilke verdier av k oppfyller de ulike mulighetene.

k2=16k=±16k=4k=4

Vi ser at grafen til f har

ingen skjæringspunkter med x-aksen for 4<k<4

ett skjæringspunkt med x-aksen for k=4 og k=4

to skjæringspunkter med x-aksen for k<4 og k>4

Oppgave 9

a)

x+2+1xx313x=3x(x+2+1x)3x(x313x)=3x2+6x+3x21

b)

x+2+1xx313x=3x2+6x+3x21=3(x2+2x+1)(x+1)(x1)=3(x+1)(x+1)(x+1)(x1)=3x+3x1

Oppgave 10

a)

f(x)=x3+2x2+1

Gjennomsnittlig vekstfart a=y2y1x2x1

x1=2

x2=2

y1=f(2)=(2)3+2(2)2+1=8+8+1=1

y2=f(2)=23+222+1=8+8+1=17

a=1712(2)=164=4

Den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [-2,2] er 4.

b)

f(x)=x3+2x2+1

f(x)=3x2+4x

Likning for tangenten i et punkt (x1,y1):(yy1)=a(xx1)

x1=1

y1=f(1)=13+212+1=1+2+1=4

a=f(1)=312+41=3+4=7

Likning for tangenten til grafen til f i punktet (1,f(1)):

(y4)=7(x1)y=7x7+4y=7x3

Oppgave 11

Når man kaster to terninger er det 66=36 mulige utfall totalt.

Utfallsrom for at terningene viser samme antall øyne:

U1={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}. Det gir oss 6 gunstige utfall.

Sannsyngliheten for at terningne viser samme antall øyne er 636

Utfallsrom for at summen av antall øyne er 5 eller mindre:

U2={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,4),(4,1)}. Det gir oss 10 gunstige utfall.

Sannsyngliheten for at summen av antall øyne er 5 eller mindre er 1036.

Det er altså alternativ 2, "summen av antall øyne er 5 eller mindre", som er mest sannsynlig.

Oppgave 12

a)

Bruker Pytagorassetningen til å finne lengden av DC.

(DC)2=(AC)2(AD)2(DC)2=s2(s2)2(DC)2=4s24s24DC=3s24DC=s32

b)

I en rettvinklet trekant er sinv=motståendekatethypotenus

sin60°=DCACsin60°=s32ssin60°=32

c)

Vi finner høyden SR til ΔPQR. Vi vet fra forrige deloppgave at sin60°=32 og vi vet fra oppgaveteksten at PR=23

sin(v)=motståendekatethypotenussin60°=SRPR32=SR23SR=3322SR=3

Vi kan nå bestemme arealet til ΔPQR.

A=grunnlinjehøyde2A=PQSR2A=832A=12

Du kan også bestemme arealet til ΔPQR ved å bruke arealsetningen.

d)

Vi begynner med å finne lengden av PS. Siden ΔPSR er en 30°-60°-90° trekant, er den korteste kateten halvparten så lang som hypotenusen. Det vil si at PS=PR2=232=3. Du kan også finne lengen av PS ved hjelp av Pytagorassetningen.

Vi kan nå finne tanQ. Vi vet at i en rettvinklet trekant er tan(v)=motståendekatethosliggendekatet. Fra oppgave c) vet vi at SR = 3, og fra oppgaveteksten vet vi at PQ=8.

tanQ=SRSQtanQ=3PQPStanQ=383

Oppgave 13

Graf E er grafen til funksjonen p, fordi p er den eneste funksjonen hvor konstantleddet er 0. Dersom konstantleddet til en funksjon er null, vil grafen skjære y-aksen i origo, og graf E er derfor den eneste som passer.

Graf F er grafen til funksjonen r, fordi r er den eneste funksjonen med negativ koeffisient i andregradsleddet. Grafen til en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd vil alltid bue nedover ("surt fjes"), og graf F er derfor den eneste som passer.

Funksjonene q og s har begge konstantleddet -2, dvs. at skjæringspunktet med y-aksen er i y=-2. Graf A og B passer ikke til det, og vi sitter igjen med graf C og D. Disse er ganske like, men har bunnpunktet på forskjellig sted. Vi kan finne x-verdien til bunnpunktet for begge funksjonene.

q(x)=2x+2

Setter q(x)=02x+2=02x=2x=1

s(x)=2x2

Setter s(x)=02x2=02x=2x=1

Vi ser at graf D er grafen til funksjonen s, fordi den har bunnpunktet i x=1.

Graf C er grafen til funksjonen q, fordi den har bunnpunktet i x=-1.

Du kan også finne de riktige grafene til funksjonene q og s ved å finne symmetrilinja x til funksjonene, ved hjelp av formelen x=b2a.

DEL 2

Oppgave 1

a)

Bruker Geogebra.

b)

c)

Lager linja y=16. Bruker skjæring mellom to objekter for å finne skjæringspunktet med grafen til funksjonen f.

Isen kostet 16 kr 34 år etter 1970, det vil si i 2004.

d)

1975 er 5 år etter 1970, og 2015 er 45 år etter 1970. Lager derfor punkt B=(5,f(5)) og C=(45,f(45)). Lager en linje mellom punkt B og C, og finner linjens stigning, a=0.53.

Prisen for en kroneis har steget i gjennomsnitt med 0.53 kr per år fra 1975 til 2015.

Oppgave 2

a)

b)

P(karaktersnitt over 4) =288640=0,45

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har et karaktersnitt over fire er 0,45, altså 45%.

c)

P(elev som har karaktersnitt over 4 legger seg før kl.23) =1282880,444

Sannsynligheten for at en elev som har et karaktersnitt over fire, også legger seg før kl.23 er ca. 0,444, altså 44,4%.

Oppgave 3

Siden summen av vinklene i en trekant er 180°, er den siste vinkelen i trekanten 180°45°75°=60°.

Bruker videre sinussetningen asinA=bsinB for å bestemme s i CAS i Geogebra. Husk gradertegnet for vinkler i CAS.

Oppgave 4

a)

I en rettvinklet trekant har vi at cos(v)=hosliggendekatethypotenus

Vi kan derfor bruke ΔADC til å finne h.

cos(u)=hah=acos(u)

Vi kan også bruke ΔDBC til å finne h.

cos(v)=hbh=bcos(v)

b)

c)

Oppgave 5

a)

b)

c)