1T 2018 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsning laget av LektorNilsen

DEL EN

Oppgave 1

<math> \left[ \begin{align*}5x +2y =4 \\ 3x + 4y = -6 \end{align*}\right] </math>

Ganger første likning med -2 for å bruke addisjon, slik at y forsvinner.

<math> \left[ \begin{align*}- 10x - 4y = -8\\ 3x + 4y = -6 \end{align*}\right] </math>

Legger likningen sammen og får

$-7x = -14 \\ x=2$

Setter x = 2 inn i første likning og får at y er:

$5x+2y =4 \\ 10 + 2y = 4 \\ 2y = -6 \\ y = -3$

Løsning: $x= 2 \wedge y= -3$

Oppgave 2

$3 \cdot 10^x = 3000 \\ 10^x = 1000 \\ x lg 10 = lg 1000 \\ x \cdot 1 = lg 1000 \\ x = 3$

Oppgave 3

$ \frac{(0,5 \cdot 10^6)^2}{0,2 \cdot 10^{-4} + 3 \cdot 10^{-5}} = \frac{0,25 \cdot 10^{12}}{2 \cdot 10^{-5} + 3 \cdot 10^{-5}} = \frac{25 \cdot 10^{10}}{5 \cdot 10^{-5}} = 5 \cdot 10^{15} $

Oppgave 4

$\sqrt{15 }\cdot \sqrt5 - \sqrt{48} = \sqrt {3 \cdot 5 \cdot 5} -\sqrt{4 \cdot 4 \cdot 3 } = 5 \sqrt3 - 4 \sqrt 3 =\sqrt 3$

Oppgave 5

$lg1000 \cdot lg \sqrt[3]{10} \cdot lg \sqrt[5]{10^2} \cdot lg 0,00001 \\= lg10^3 \cdot lg10^{\frac{1}{3}} \cdot lg10^{\frac{2}{5}} \cdot lg10^{-5} \\ = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot (-5) = -2$

a)

$x (x+2) (x-4) = x (x^2-4x+2x-8) = x ( x^2 - 2x - 8) = x^3 -2x^2-8x$

b)

$x^3 -2x^2-8x = 0 \\ x (x+2) (x-4) = 0 \\ x=-2 \wedge x=0 \wedge x=4$

Oppgave 7

$ x^2-2x-8=0 \\ (x+2)(x-4)=0 \\ x=-2 \wedge x=4 $

$ x^2-2x-8 \geq 0 $ for $x<-2$ og $x>4$

Oppgave 8

Bruker abc-formelen $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2- 4ac}}{2a}$ for å finne funksjonens nullpunkter, a=1, b=k, c=4.

$ x^2 +kx + 4 = 0 \\ x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2- 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ x = \frac{-k \pm \sqrt{k^2- 16}}{2} $

Dersom likningen er uløselig, har grafen til f ingen skjæringspunkter med x-aksen (dvs. ingen nullpunkter). Dette skjer dersom verdien under kvadratroten er negativ, siden kvadratroten av et negativt tall ikke gir noen reelle løsninger.

Dersom verdien under kvadratroten er 0, får likningen bare én løsning, og grafen til f bare ett skjæringspunkt med x-aksen (dvs. ett nullpunkt).

Dersom verdien under kvadratroten er positiv, får likningen to løsninger, og grafen til f to skjæringspunkter med x-aksen (dvs. to nullpunkt).

Vi løser likningen $k^2-16 = 0$ for å finne hvilke verdier av k oppfyller de ulike mulighetene.

$k^2=16 \\ k= \pm \sqrt{16} \\ k=-4 \wedge k=4$

Vi ser at grafen til f har

$\bullet$ ingen skjæringspunkter med x-aksen for $-4<k<4$

$\bullet$ ett skjæringspunkt med x-aksen for $k=-4$ og $k=4$

$\bullet$ to skjæringspunkter med x-aksen for $k<-4$ og $k>4$

a)

$ \frac{x+2+\frac{1}{x}}{\frac{x}{3}-\frac{1}{3x}} = \frac{3x(x+2+\frac{1}{x})}{3x(\frac{x}{3}-\frac{1}{3x})} = \frac{3x^2+6x+3}{x^2-1} $

b)

$ \frac{x+2+\frac{1}{x}}{\frac{x}{3}-\frac{1}{3x}} = \frac{3x^2+6x+3}{x^2-1} = \frac{3(x^2+2x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{3(x+1)(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{3x+3}{x-1}$

a)

$f(x)=x^3+2x^2+1$

Gjennomsnittlig vekstfart $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$x_1=-2 \\ x_2=2 \\ y_1=f(-2)=(-2)^3+2\cdot(-2)^2+1=-8+8+1=1 \\ y_2=f(2)=2^3+2\cdot2^2+1=8+8+1=17$

$a=\frac{17-1}{2-(-2)}=\frac{16}{4}=4$

Den gjennomsnittlige vekstfarten til f i intervallet [-2,2] er 4.

b)

$f(x)=x^3+2x^2+1$

$f'(x)=3x^2+4x$

Likning for tangenten i et punkt $(x_1,y_1): (y-y_1)=a(x-x_1)$

$x_1=1$

$y_1=f(1)=1^3+2\cdot1^2+1=1+2+1=4$

$a=f'(1)=3\cdot 1^2 +4 \cdot 1 = 3+4=7$

Likning for tangenten til grafen til f i punktet $(1,f(1))$:

$(y-4)=7(x-1) \\ y=7x-7+4 \\ y=7x-3$

Oppgave 11

Når man kaster to terninger er det $6\cdot 6 = 36$ mulige utfall totalt.

Utfallsrom for at terningene viser samme antall øyne:

$U_1=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)\}$. Det gir oss 6 gunstige utfall.

Sannsyngliheten for at terningne viser samme antall øyne er $\frac{6}{36}$

Utfallsrom for at summen av antall øyne er 5 eller mindre:

$U_2=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(1,4),(4,1)\}$. Det gir oss 10 gunstige utfall.

Sannsyngliheten for at summen av antall øyne er 5 eller mindre er $\frac{10}{36}$.

Det er altså alternativ 2, "summen av antall øyne er 5 eller mindre", som er mest sannsynlig.

a)

Bruker Pytagorassetningen til å finne lengden av DC.

$(DC)^2 = (AC)^2 - (AD)^2 \\ (DC)^2 = s^2 - (\frac{s}{2})^2 \\ (DC)^2 = \frac{4s^2}{4} - \frac{s^2}{4} \\ DC=\sqrt{\frac{3s^2}{4}} \\ DC = \frac{s \sqrt{3}}{2}$

b)

I en rettvinklet trekant er $sin\,v = \frac{motstående\,katet}{hypotenus}$

$sin\,60° = \frac{DC}{AC} \\ sin\,60° = \frac{\frac{s \sqrt{3}}{2}}{s} \\ sin\,60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$

c)

Vi finner høyden SR til $\Delta PQR$. Vi vet fra forrige deloppgave at $sin\,60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ og vi vet fra oppgaveteksten at $PR=2\sqrt{3}$

$sin\,v = \frac{motstående\,katet}{hypotenus} \\ sin\,60° = \frac{SR}{PR} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{SR}{2\sqrt{3}} \\ SR = \frac{\sqrt{3}\sqrt{3}\cdot2}{2} \\ SR = 3$

Vi kan nå bestemme arealet til $\Delta PQR$.

$A=\frac{grunnlinje \cdot høyde}{2} \\ A=\frac{PQ \cdot SR}{2} \\ A=\frac{8 \cdot 3}{2} \\ A=12$

Du kan også bestemme arealet til $\Delta PQR$ ved å bruke arealsetningen.

d)

Vi begynner med å finne lengden av PS. Siden $\Delta{PSR}$ er en 30°-60°-90° trekant, er den korteste kateten halvparten så lang som hypotenusen. Det vil si at $PS=\frac{PR}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$. Du kan også finne lengen av PS ved hjelp av Pytagorassetningen.

Vi kan nå finne $tanQ$. Vi vet at i en rettvinklet trekant er $tan\,v = \frac{motstående\,katet}{hosliggende\,katet}$. Fra oppgave c) vet vi at SR = 3, og fra oppgaveteksten vet vi at PQ=8.

$tan\,Q = \frac{SR}{SQ} \\ tan\,Q = \frac{3}{PQ-PS} \\ tan\,Q = \frac{3}{8-\sqrt{3}}$

Oppgave 13

Graf E er grafen til funksjonen p, fordi p er den eneste funksjonen hvor konstantleddet er 0. Dersom konstantleddet til en funksjon er null, vil grafen skjære y-aksen i origo, og graf E er derfor den eneste som passer.

Graf F er grafen til funksjonen r, fordi r er den eneste funksjonen med negativ koeffisient i andregradsleddet. Grafen til en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd vil alltid bue nedover ("surt fjes"), og graf F er derfor den eneste som passer.

Funksjonene q og s har begge konstantleddet -2, dvs. at skjæringspunktet med y-aksen er i y=-2. Graf A og B passer ikke til det, og vi sitter igjen med graf C og D. Disse er ganske like, men har bunnpunktet på forskjellig sted. Vi kan finne x-verdien til bunnpunktet for begge funksjonene.

$q'(x)=2x+2$

Setter $q'(x)=0 \\ 2x+2=0 \\ 2x=-2 \\ x= -1$

$s'(x)=2x-2$

Setter $s'(x)=0 \\ 2x-2=0 \\ 2x=2 \\ x=1$

Vi ser at graf D er grafen til funksjonen s, fordi den har bunnpunktet i x=1.

Graf C er grafen til funksjonen q, fordi den har bunnpunktet i x=-1.

Du kan også finne de riktige grafene til funksjonene q og s ved å finne symmetrilinja x til funksjonene, ved hjelp av formelen $x=\frac{-b}{2a}$.

DEL 2

a)

Bruker Geogebra.

b)

c)

Lager linja y=16. Bruker skjæring mellom to objekter for å finne skjæringspunktet med grafen til funksjonen $f$.

Isen kostet 16 kr 34 år etter 1970, det vil si i 2004.

d)

1975 er 5 år etter 1970, og 2015 er 45 år etter 1970. Lager derfor punkt B=(5,f(5)) og C=(45,f(45)). Lager en linje mellom punkt B og C, og finner linjens stigning, $a=0.53$.

Prisen for en kroneis har steget i gjennomsnitt med 0.53 kr per år fra 1975 til 2015.

a)

b)

P(karaktersnitt over 4) $=\frac{288}{640}=0,45$

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har et karaktersnitt over fire er 0,45, altså 45%.

c)

P(elev som har karaktersnitt over 4 legger seg før kl.23) $=\frac{128}{288} \approx 0,444$

Sannsynligheten for at en elev som har et karaktersnitt over fire, også legger seg før kl.23 er ca. 0,444, altså 44,4%.

Oppgave 3

Siden summen av vinklene i en trekant er 180°, er den siste vinkelen i trekanten $180°-45°-75°=60°$.

Bruker videre sinussetningen $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$ for å bestemme $s$ i CAS i Geogebra. Husk gradertegnet for vinkler i CAS.

a)

I en rettvinklet trekant har vi at $cos\,v=\frac{hosliggende\,katet}{hypotenus}$

Vi kan derfor bruke $\Delta ADC$ til å finne h.

$cos\,u=\frac{h}{a} \quad \Rightarrow \quad h=a \cdot cos\,u$

Vi kan også bruke $\Delta DBC$ til å finne h.

$cos\,v=\frac{h}{b} \quad \Rightarrow \quad h=b \cdot cos\,v$

b)

Vi begynner med å utrykke $c_1$ og $c_2$ på en annen måte. I en rettvinklet trekant har vi at $sin\,v=\frac{motstående\,katet}{hypotenus}$

Vi kan derfor bruke $\Delta ADC$ til å finne $c_1$.

$sin\,u=\frac{c_1}{a} \quad \Rightarrow \quad c_1=a \cdot sin\,u$

Vi kan bruke $\Delta DBC$ til å finne $c_2$.

$sin\,v=\frac{c_2}{b} \quad \Rightarrow \quad c_2=b \cdot sin\,v$

Med dette og resultatet fra oppgave a) har vi vist at Marias uttrykk for arealet av $\Delta ABC$ kan skrives som:

$T=\frac{c_1\cdot h}{2} + \frac{c_2 \cdot h}{2} = \frac{a\cdot sin\,u \cdot b \cdot cos\,v}{2} + \frac{b \cdot sin\,v \cdot a \cdot cos\,u}{2} $

c)

Vi setter de to uttrykkene for arealtet av trekanten lik hverandre.

$ \frac{1}{2} a \cdot b \cdot sin(u+v) = \frac{a\cdot sin\,u \cdot b \cdot cos\,v}{2} + \frac{b \cdot sin\,v \cdot a \cdot cos\,u}{2} $

Ganger alle ledd på begge sidene av likningen med 2.

$ 2 \cdot \frac{1}{2} a \cdot b \cdot sin(u+v) = 2\cdot \frac{a\cdot sin\,u \cdot b \cdot cos\,v}{2} + 2\cdot \frac{b \cdot sin\,v \cdot a \cdot cos\,u}{2} $

$ a \cdot b \cdot sin(u+v) = a\cdot sin\,u \cdot b \cdot cos\,v + b \cdot sin\,v \cdot a \cdot cos\,u $

Deler alle ledd på begge sidene av likningen på $a\cdot b$

$ \frac{a \cdot b \cdot sin(u+v)}{a\cdot b} = \frac{a\cdot sin\,u \cdot b \cdot cos\,v}{a\cdot b} + \frac{b \cdot sin\,v \cdot a \cdot cos\,u}{a \cdot b} $

$ sin(u+v) = sin\,u \cdot cos\,v + sin\,v \cdot cos\,u $

a)

To linjer er parallelle dersom de har samme stigningstall. Vi må derfor vise at at tangenten til grafen til $f$ i punktet $(4,f(4))$ har samme stigningstall som linjen som går gjennom punktene $(2,f(2))$ og $(6,f(6))$.

$f(x)=x^2-6x+8$

$f'(x)=2x-6$

Stigningstallet til tangenten til grafen til $f$ i punktet $(4,f(4))$ finner vi ved å bestemme $f'(4)$

$f'(4)=2\cdot 4-6=2$

Stigningstallet til linjen som går gjennom punktene $(2,f(2))$ og $(6,f(6))$ finner vi ved å bruke formelen $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$x_1=2 \\ x_2=6 \\ y_1 = f(2) = 2^2-6\cdot2+8=4-12+8=0 \\ y_2=f(6)=6^2-6\cdot6+8=36-36+8=8$

$a=\frac{8-0}{6-2}=\frac{8}{4}=2$

Linjene har samme stigningstall og er derfor parallelle.

b)

Stigningstallet til tangenten til en graf et punkt tilsvarer den deriverte av funksjonen i dette punktet. Bruker CAS i Geogebra til å finne $g'(\frac{p+q}{2})$. Husk å først definere funksjonen i CAS, ved hjelp av kolon foran likhetstegnet (se linje 1 i CAS). Husk også gangetegn mellom variablene.

Stigningstallet er $a(p+q)+b$

c)

To linjer er parallelle dersom de har samme stigningstall. Vi må vi vise at linjen gjennom punktene $P(p,g(p))$ og $Q(q,g(q))$ har samme stigningstall som tangenten i oppgave b), nemlig $a(p+q)+b$, som også kan skrives $ap+aq+b$ (se linje 4 i CAS).

Vi bruker formelen $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{g(q)-g(p)}{q-p}$ i CAS (se linje 3).

Vi ser at de to linjene har samme stigningstall, og derfor er de parallelle.