1T 2016 høst LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Oppgave 1

Tar utgangspunkt i likning #2 og lager først et uttrykk for y

\[-y=-2x-9 \Leftrightarrow y=2x+9\]

Setter det inn i likning #1

\[5x=-2(2x+9) \Leftrightarrow 5x=-4x-18\Leftrightarrow9x=-18\Leftrightarrow x=(-2)\]

Setter så inn verdien for x inn i hvilken som helst vilkårlig likning, i dette tilfellet tar vi for oss likning 1 fordi den er enklest.

\[5(-2)=-2y\Leftrightarrow -10=-2y \Leftrightarrow y=5\]

Derfor, \[x=(-2), y=5\]

Oppgave 2

Først omskriver vi det litt med hensyn til faktorisering.

\[\frac{2x^2-2}{x^2-2x+1}=\frac{2(x^2-1)}{x^2-2x+1}\Leftrightarrow \frac{2(x-1)(x+1)}{x^2-2x+1}\]

Ser vi i nevneren vil vi se at vi har et andregradsuttrykk. Dette kan du faktorisere ved hjelp av abc-formelen.

Du finner fort ut at likninga kun har ett nullpunkt for \[x=1\] Da kan du skrive nevneren som \[(x-1)^2\]

videre får du

\[\frac{2(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{2(x+1)}{x-1}\]

Oppgave 4

\[lg(2x+\frac{3}{5})=-1\]

Ved hjelp av logaritmereglene vet vi at \[-1=lg(10^{-1})\]

Derfor kan vi si at

\[lg(2x+\frac{3}{5})=lg(10^{-1})\]

Ved hjelp av denne logaritmeregelen \[lg(a)=lg(b)\Leftrightarrow a=b\]

Kan vi si at

\[2x+\frac{3}{5}=10^{-1}\Leftrightarrow2x+\frac{3}{5}=\frac{1}{10}\Leftrightarrow 2x=-\frac{5}{10}\Leftrightarrow 2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}\]

Oppgave 5

\[2^3\cdot 2^x=2^{2x}\]

Vi kjenner til regelen \[a^n\cdot a^m=a^{n+m}\] og sier at \[2^3\cdot2^x=2^{x+3}\]

Derfor får vi at

\[2^{x+3}=2^{2x}\]

Vi kjenner regelen \[a^n=a^m\Leftrightarrow n=m\]

Derfor kan vi si at \[x+3=2x\Leftrightarrow x=3\]

Oppgave 6

$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{54}} + 2^{\frac12} \cdot 3^{-1} = \\\frac{\sqrt{3 \cdot 16}}{\sqrt{6 \cdot 9}} + \sqrt 2 \cdot \frac 13 = \\\frac{4\sqrt{3 }}{3\sqrt{6 }} + \frac{\sqrt 2}{3}= \\\frac{4\sqrt{3 }}{3\sqrt{2 } \cdot \sqrt 3} + \frac{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2}{3 \sqrt 2}= \\ \frac{4+2}{3 \sqrt 2} = \\ \frac{2}{\sqrt 2} $

Oppgave 12

b)

$a^2+b^2=c^2 \\ \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} \\ (\frac ac)^2 + (\frac bc)^2 =1 \\sin^2x + cos^2x = 1$