R2 2013 høst LØSNING
Matteprat: Diskusjon omkring denne oppgaven
DEL EN
Oppgave 1
a) $ \displaystyle f(x) = 5x\cos x$
Produktregelen for derivasjon gir at
$ \displaystyle f'(x) = 5\cos x + 5x(- sin x) = 5\cos x - 5x\sin x = 5(cos x - x\sin x)$
b) $ \displaystyle g(x) = \frac{sin (2x)}{x}$
Brøkregelen for derivasjon gir at
$ \displaystyle g'(x) = \frac{2\cos (2x) \cdot x - sin (2x) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x cos (2x) - sin (2x)}{x^2}$
Oppgave 2
a) $ \displaystyle \int_0^{1} 2e^{2x} \, \mathrm{d} = 2 \int_0^{1} e^{2x} \, \mathrm{d}x = 2 \left[ \frac{1}{2}e^{2x} \right]_0^{1} = \frac{2}{2} \left[e^{2x} \right]_0^{1} = e^{2 \cdot 1} - e^{2 \cdot 0} = e^2 - 1$
b) $ \displaystyle \int 2x \cdot e^x \, \mathrm{d}x$
$u = 2x$ og $v' = e^x$. Delvis integrasjon gir
$\displaystyle \int 2x \cdot e^x \, \mathrm{d}x = 2x \cdot e^x - \int 2e^x \, \mathrm{d}x + C = 2xe^x - 2\int e^x \, \mathrm{d}x + C = 2xe^x - 2e^x + C = 2e^x(x - 1) + C$
Oppgave 3
a) $\vec{AB} = \left[-2,3,0\right]$ og $\vec{AC} = \left[-2,0,4\right]$
Da blir $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-2) \cdot (-2) + 3 \cdot 0 + 0 \cdot 4 = 4$
og $\vec{AB} \times \vec{AC} = \left[3\cdot4 - 0\cdot0,-\left((-2)\cdot4 - 0\cdot(-2)\right),(-2)\cdot0 - 3\cdot(-2)\right] = \left[12,8,6\right]$
b) $V = |\frac{1}{6}(\vec{AB} \times {AC})\cdot\vec{AO}| = |\frac{1}{6}\left[12,8,6\right]\cdot\left[-2,0,0\right]| = |\frac{1}{6}\left(12(-2) + 8\cdot0 0+ 6\cdot0\right)| = |\frac{1}{6}(-24) = |- \frac{24}{6}| = |-4| = 4$
Eventuelt kan man regne ut volumet ved hjelp av formelen for volum av pyramide, $V = \frac{G\cdot h}{3}$,
hvor $G = \frac{|\vec{OA}|\cdot|\vec{OB}}{2} = \frac{2\cdot3}{2} = 3$ og $h = |\vec{OC}| = 4$.
Da får man $V = \frac{3\cdot4}{3} = 4$
c) Om man bruker punktet $A(2,0,0)$ og normalvektoren $\vec{AB} \times \vec{AC} = \left[12,8,6\right]$ blir likningen for planet $\alpha$:
$12(x - 2) + 8(y - 0) + 6(z - 0) = 0 \\ 12x - 24 + 8y + 6z = 0 \\ 12x + 8y + 6z = 24 \\ \frac{12x}{24} + \frac{8y}{24} + \frac{6z}{24} = \frac{24}{24} \\ \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$
Hvilket skulle vises.
