1T 2016 høst LØSNING
Diskusjon av denne oppgaven på matteprat
DEL EN
Oppgave 1
Tar utgangspunkt i likning #2 og lager først et uttrykk for y
\[-y=-2x-9 \Leftrightarrow y=2x+9\]
Setter det inn i likning #1
\[5x=-2(2x+9) \Leftrightarrow 5x=-4x-18\Leftrightarrow9x=-18\Leftrightarrow x=(-2)\]
Setter så inn verdien for x inn i hvilken som helst vilkårlig likning, i dette tilfellet tar vi for oss likning 1 fordi den er enklest.
\[5(-2)=-2y\Leftrightarrow -10=-2y \Leftrightarrow y=5\]
Derfor, \[x=(-2), y=5\]
Oppgave 2
Først omskriver vi det litt med hensyn til faktorisering.
\[\frac{2x^2-2}{x^2-2x+1}=\frac{2(x^2-1)}{x^2-2x+1}\Leftrightarrow \frac{2(x-1)(x+1)}{x^2-2x+1}\]
Ser vi i nevneren vil vi se at vi har et andregradsuttrykk. Dette kan du faktorisere ved hjelp av abc-formelen.
Du finner fort ut at likninga kun har ett nullpunkt for \[x=1\] Da kan du skrive nevneren som \[(x-1)^2\]
videre får du
\[\frac{2(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}=\frac{2(x+1)}{x-1}\]
Oppgave 3
$-x^2+3x> -10 \\ -x^2+3x+10 >0$
Faltoriserer uttrykket:
$x= \frac{-3 \pm \sqrt{9+40}}{-2} \\ x= -2 \vee x=5$
Gir oss uttrykket på faktorisert form:
$-1 (x -5)( x + 2)> 0$
Tegner så fortegnsskjema.
Oppgave 4
\[lg(2x+\frac{3}{5})=-1\]
Ved hjelp av logaritmereglene vet vi at \[-1=lg(10^{-1})\]
Derfor kan vi si at
\[lg(2x+\frac{3}{5})=lg(10^{-1})\]
Ved hjelp av denne logaritmeregelen \[lg(a)=lg(b)\Leftrightarrow a=b\]
Kan vi si at
\[2x+\frac{3}{5}=10^{-1}\Leftrightarrow2x+\frac{3}{5}=\frac{1}{10}\Leftrightarrow 2x=-\frac{5}{10}\Leftrightarrow 2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}\]
Oppgave 5
\[2^3\cdot 2^x=2^{2x}\]
Vi kjenner til regelen \[a^n\cdot a^m=a^{n+m}\] og sier at \[2^3\cdot2^x=2^{x+3}\]
Derfor får vi at
\[2^{x+3}=2^{2x}\]
Vi kjenner regelen \[a^n=a^m\Leftrightarrow n=m\]
Derfor kan vi si at \[x+3=2x\Leftrightarrow x=3\]
Oppgave 6
$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{54}} + 2^{\frac12} \cdot 3^{-1} = \\\frac{\sqrt{3 \cdot 16}}{\sqrt{6 \cdot 9}} + \sqrt 2 \cdot \frac 13 = \\\frac{4\sqrt{3 }}{3\sqrt{6 }} + \frac{\sqrt 2}{3}= \\\frac{4\sqrt{3 }}{3\sqrt{2 } \cdot \sqrt 3} + \frac{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2}{3 \sqrt 2}= \\ \frac{4+2}{3 \sqrt 2} = \\ \frac{2}{\sqrt 2} = \\ \sqrt{2} $
Oppgave 7
Oppgave 8
Oppgave 9
a
Alle tre faktorene vil bli lik null som gir
\[f(x)=(x-1)(x-1)(x+2)\Leftrightarrow x-1=0, x+2=0 \Leftrightarrow x=1 \wedge x=-2\]
b
\[(x-1)(x-1)(x+2)=(x+2)(x-1)^2=(x+2)(x^2-2x+1)=x^3-3x+2\]
c
Vi finner topp og bunnpunkter når den deriverte = 0, dvs. ved 0 vekst.
\[(x^3-3x+2)' =3x^2-3x\]
\[3x^2-3=0\Leftrightarrow 3x^2=3\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=\pm1\]
Vi vet derfor at funksjonen har et ekstremalpunkt i \[(1,f(1))=(1,0)\] og \[(-1,f(-1))=(-1,4)\]
d
Først finner vi stigningstallet
\[f'(0)=a\Leftrightarrow 3\cdot0^2-3=a\Leftrightarrow a=-3\]
Så finner vi likningen
\[(y-y_1)=a(x-x_1)\Leftrightarrow(y-2)=-3(x-0)\Leftrightarrow y=-3x+2\]
e)
Dersom vi skal ha flere tangenter parallell med den i i d), må likningen $3x^2 - 3 = -3$ ha flere løsninger. Vi får:
$3x^2-3 +3 =0 \\ 3x^2 =0 \\ x=0$
Det finnes ingen andre tangenter parallell med den i d).
Oppgave 10
Hver av sidene har lengde 8.
Høyden i trekanten blir et katet i en trekant der det andre katetet er 4 og hypotenus 8. Lengden blir da $ \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt 3$
Arealet av trekanten blir $A= \frac{g \cdot h}{2} = \frac {8 \cdot 4\sqrt3}{2} = 16 \sqrt 3$
Oppgave 11
\[\frac{sin(u)}{cos(u)}=tan(u)\Leftrightarrow\frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}}=\frac{8}{15}\]
Oppgave 12
a)
$ (sin u)^2 + (cos u)^2 = \\ ( \frac 45)^2 + ( \frac 35)^2 = \\ \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = 1$
Hvilket skulle vises.
b)
$a^2+b^2=c^2 \\ \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} \\ (\frac ac)^2 + (\frac bc)^2 =1 \\sin^2x + cos^2x = 1$
Oppgave 13
a)
P( BRR) = $P(B)\cdot P(R) \cdot P(R) = \frac 48 \cdot \frac 47 \cdot \frac 36= \frac 17$
b)
c)
Oppgave 14
a)
Omkretsen av det blå området er lik summen av pereferien av de tre halvsirklene.
$O_{blå} = 2,5a \pi + 0,5a \pi + 2a \pi = 5a \pi$
Omkretsen er fem ganger a ganger pi.
b)
Arealet av det blå området er arealet av den store halvsirkelen, minus arealene av de to små halvsirklene.
$A= (\frac{\pi (\frac 52a)^2}{2}) -(\frac{\pi (\frac12)^2}{2}) -(\frac{ \pi (2a)^2}{2})\\ A = (\frac{\pi a^2}{2} )((\frac52)^2 - (\frac 12)^2 - 2^2) \\ A= $