R2 2013 høst LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

Oppgaven som pdf

Matteprat: Diskusjon omkring denne oppgaven

DEL EN

Oppgave 1

a) f(x)=5xcosx

Produktregelen for derivasjon gir at

f(x)=5cosx+5x(sinx)=5cosx5xsinx=5(cosxxsinx)

b) g(x)=sin(2x)x

Brøkregelen for derivasjon gir at

g(x)=2cos(2x)xsin(2x)1x2=2xcos(2x)sin(2x)x2

Oppgave 2

a) 012e2xd=201e2xdx=2[12e2x]01=22[e2x]01=e21e20=e21

b) 2xexdx

u=2x og v=ex. Delvis integrasjon gir

2xexdx=2xex2exdx+C=2xex2exdx+C=2xex2ex+C=2ex(x1)+C

Oppgave 3

a) AB=[2,3,0] og AC=[2,0,4]

Da blir ABAC=(2)(2)+30+04=4

og AB×AC=[3400,((2)40(2)),(2)03(2)]=[12,8,6]

b) V=|16(AB×AC)AO|=|16[12,8,6][2,0,0]|=|16(12(2)+800+60)|=|16(24)=|246|=|4|=4

Eventuelt kan man regne ut volumet ved hjelp av formelen for volum av pyramide, V=Gh3,

hvor G=|OA||OB|2=232=3 og h=|OC|=4.

Da får man V=343=4

c) Om man bruker punktet A(2,0,0) og normalvektoren AB×AC=[12,8,6] blir likningen for planet α:

12(x2)+8(y0)+6(z0)=012x24+8y+6z=012x+8y+6z=2412x24+8y24+6z24=2424x2+y3+z4=1

Hvilket skulle vises.

Oppgave 4

a) Rekken er geometrisk fordi neste ledd i rekken genereres ved å multiplisere det forrige leddet med en fast kvotient k=e1=1e. Ettersom 1e<1, er altså |k|<1, hvilket gjør rekken konvergent.

S=a11k=111e=1ee1e=1e1e=ee1

b) I dette tilfellet er k=ex, og rekken er konvergent dersom |k|<1.

|ex|<1

Ettersom ex alltid vil være positivt, kan man skrive om likningen til

ex<1ln(ex)<ln1(x)ln(e)<0x<0x>0

S=a01k=11ex=111ex=1exex1ex=1ex1ex=exex1

DEL TO