R1 2013 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Matteprat: Diskusjon omkring denne oppgaven

Oppgave 1:

a)

$f(x) = 2e^{3x} \\ f´(x) = 2(3x)´e^{3x} = 6e^{3x}$

b)

$g(x) = 2x \cdot \ln(3x) \\ g´(x) = 2 ln(3x) + 2x \cdot \frac{1}{3x} \cdot (3x)´ \\ g´(x) = 2( \ln(3x)+1)$

c)

$h(x)= \frac {2x-1}{x+1} \\ h´(x) = \frac{2(x+1) - (2x-1)}{(x+1)^2} \\ h´(x) = \frac {3}{(x+1)^2} $

Oppgave 2:

a)

$P(x)= x^3-6x^2+11x-6 \\ P(1)= 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 -6 =0$

b)

$ \quad( x^3-6x^2+11x-6) : (x-1) =x^2 - 5x + 6\\ -(x^3 -x^2) \\ \quad \quad -5x^2 \\ \quad \quad -(-5x^2 +5x) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 6x-6$

Oppgave 3:

• Avsett linjestykket AB lik 10 cm
• Konstruer en halvsirkel med diameter 10 cm, med sentrum midt mellom A og B.
• Konstruere en linje paralelle med AB, med avstand 4 cm. Denne linjen skjærer halvsirkelen i to punkter.

Oppgave 4:

$2^{3x-1} = 2^2+2^2+2^2+2^2 \\ 2^{3x+1} = 4 \cdot 2^2 \\ 2^{3x-1} = 2^4 \\3x-1 =4 \\ x = \frac 53$

Oppgave 6:

a)

$f(x)= - \frac 13 x^3+2x^2, \quad D_f \in \R \\ f´(x)= -x^2 +4x \\ f´´(x) = -2x+4$

b)

Ekstremalpunkter:

$f ´(x)=0 \\ -x^2+4x=0 \\ x(-x+4)=0 \\ x=0 \vee x= 4 \\ f(0) = 0 \wedge f(4) =- \frac{32}{3} \\ (0,0) \wedge ( 4, -\frac{32}{3})$

Vendepunkt:

$f´´(x)=0 \\ -2x+4 =0 \\ x= 2 \\ f(2) = - \frac {8}{3} + \frac{24}{3} = \frac {16}{3} \\ (2, \frac{16}{3})$