R1 2013 høst LØSNING

Oppgave 1:

a)

$f(x) = 2e^{3x} \\ f'(x) = 2(3x)'e^{3x} = 6e^{3x}$

b)

$g(x) = 2x \cdot \ln(3x) \\ g'(x) = 2 ln(3x) + 2x \cdot \frac{1}{3x} \cdot (3x)' \\ g'(x) = 2( \ln(3x)+1)$

c)

$h(x)= \frac {2x-1}{x+1} \\ h'(x) = \frac{2(x+1) - (2x-1)}{(x+1)^2} \\ h'(x) = \frac {3}{(x+1)^2} $

Oppgave 2:

a)

$P(x)= x^3-6x^2+11x-6 \\ P(1)= 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 -6 =0$

b)

$ \quad( x^3-6x^2+11x-6) : (x-1) =x^2 - 5x + 6\\ -(x^3 -x^2) \\ \quad \quad -5x^2 \\ \quad \quad -(-5x^2 +5x) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 6x-6$

$x^2-5x+6=0 \\ x= \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} \\ x= 2 \vee x=3$

$P(x)=x^3-6x^2+11x-6 = (x-1)(x-2)(x-3)$

$P(x) \geq 0$

$x \in [1,2] \cup [3, \rightarrow>$

Oppgave 3:

• Avsett linjestykket AB lik 10 cm
• Konstruer en halvsirkel med diameter 10 cm, med sentrum midt mellom A og B.
• Konstruere en linje parallell med AB, med avstand 4 cm. Denne linjen skjærer halvsirkelen i to punkter.

Oppgave 4:

$2^{3x-1} = 2^2+2^2+2^2+2^2 \\ 2^{3x+1} = 4 \cdot 2^2 \\ 2^{3x-1} = 2^4 \\3x-1 =4 \\ x = \frac 53$

Oppgave 5:

a)

b)

$\vec u \cdot \vec v = [7,7] \cdot [5, -2] = 5\cdot 7 + (-2) \cdot 7 = 35-14 =21$

Vektorene u og v står ikke vinkelrett på hverandre.

Oppgave 6:

a)

$f(x)= - \frac 13 x^3+2x^2, \quad D_f \in \R \\ f´(x)= -x^2 +4x \\ f´´(x) = -2x+4$

b)

Ekstremalpunkter:

$f ´(x)=0 \\ -x^2+4x=0 \\ x(-x+4)=0 \\ x=0 \vee x= 4 \\ f(0) = 0 \wedge f(4) = \frac{32}{3} \\ (0,0) \wedge ( 4, \frac{32}{3})$

Vendepunkt:

$f´´(x)=0 \\ -2x+4 =0 \\ x= 2 \\ f(2) = - \frac {8}{3} + \frac{24}{3} = \frac {16}{3} \\ (2, \frac{16}{3})$

Fortegnslinjer:

c)

Oppgave 7:

a)

$S_1 : x^2+y^2=25$ Sirkelen har sentrum i origo og radius 5

$S_2 : (x-a)^2+y^2=9$ Setter a = 6. Sirkelen har sentrum i (6, 0) og radius 3

b)

$S_2$ kan tangere $S_1$ både utvendig og innvendig. Det er bare forskyvning i x rettning, og det finnes fire muligheter.

$a = \pm r_2 \pm r_1 \\ a = \pm 5 \pm 3 \\ a=-8 \vee a= -2 \vee a= 2 \vee a= 8$

Oppgave 1

a)

Grafen tangerer x- aksen for x=2, derfor $(x-2)^2$

$f(x) = 2(x-2)^2 = 2(x^2-4x+4 )= 2x^2-8x+8$

Man observer at konstantleddet 8 stemmer med grafen skjæring med y aksen. Uttrykket for f(x) er derfor riktig.

b)

$(x-3)^2(x+1) = x^3-5x^2-6x+9$

Man observerer at g skjærer y-aksen i 9, dvs. k = 1.

c)

$ (x-2)^2 (x+2)^2 = \\(x^2-4x+4)(x^2+4x+4)$

Man observerer at konstantleddet i uttrykket over blir 16. h skjærer y-aksen i 8, man må derfor multiplisere med en halv. h(x) blir da:

$h(x) = \frac 12 (x-2)^2(x+2)^2$

Oppgave 2

a)

Asymptoter:

Horisontal: $ lim_{x \to \pm \infty} f(x)= lim_{x \to \pm \infty} \frac {2x-1}{x+1} = lim_{x \to \pm \infty} \frac {\frac {2x}{x}- \frac1x}{\frac xx+ \frac 1x} =2 $

Vertikal: x + 1 = 0, x = -1

b)

$f(x)=g(x) \\ \frac{2x-1}{x+1} = x-1 \\ 2x-1 = x^2-1 \\ x^2-2x=0 \\x=0 \vee x=2$

Oppgave 3

a)

Areal av rektangel;

$A = b \cdot h \\ A= (12-x) \cdot f(x) \\ A= (12-x) \cdot (x^2+21) \\ A = 12x^2-3x^3+252-21x \\ A(x)= -x^3+12x^2-21x + 252$

b)

$A(x)= -x^3+12x^2-21x + 252 \\ A´(x) = -3x^2+24x-21 \\ x= \frac {-24 \pm \sqrt{24^2 -4 \cdot (-3) \cdot (-21)}}{-6} \\x=1 \vee x=7 $

c)

Oppgave 4

a)

$A = (-r, 0) \\ B = (r,0)$

$\vec{PA} = [-r-x, -y] \\ \vec {PB} = [r-x, -y]$

b)

Vi har sirkellikningen: $x^2 + y^2 = r^2$

Dersom vinkel APB er nitti grader, må vektorene PA og PB stå normalt på hverandre. Da er skalarproduktet av vektorene null.

$[ -r-x, -y] \cdot [r-x, -y] = -r^2 +rx -rx +x^2 +y^2 \\ x^2 + y^2-r^2 =0$

Som vi viste på forhånd (sentralvinkel / periferivinkel) er vinkelen 90 grader.

Oppgave 5

a)

Sannsynlighet for matematikk og fysikk:

$P(M \cap F) = P(M) + P(F) - P(M \cup F) = 0,64 + 0,32 - 0,70 = 0,26$

Sannsynlighet for matematikk og ikke fysikk:

$P(M\cap \overline F) = P(M) - P(M \cap F) = 0,64 - 0,26 = 0,38$

b)

Sannsynlighet for fysikk, gitt matematikk:

$P(F | M) = \frac{P(F \cap M)}{P(M)} = \frac{0,26}{0,64} =0,41 $

Nei, hendelsenne er avhengige fordi $P(F) \neq P(F|M)$.

c)

Sannsynligheten for matematikk, gitt fysikk;

$P(M | F ) = \frac{P(F | M ) \cdot P(M)}{P(F)} = \frac {0,41 \cdot 0,64}{0,32} = 0,82$

Oppgave 6

a)

$ \vec{AB} = [6,4] \\ \vec{AD} = [1,5] \\ | \vec{AB}| = \sqrt{36+16} = \sqrt {52} \\ |\vec{AD}| = \sqrt{25+1} = \sqrt{26} \\ \vec {AB} \cdot \vec{AD} = | \vec{AB} | \cdot | \vec{AD} | \cdot \cos (BAD) \\ \cos(BAD) = \frac { \vec {AB} \cdot \vec{AD}}{| \vec{AB} | \cdot | \vec{AD}| } \\ \cos (BAD) = \frac{[6,4] \cdot [1,5]}{\sqrt {52} \cdot \sqrt{26}} \\ \cos (BAD) = \frac{26}{ \sqrt{26 \cdot 26 \cdot 2}} \\ \cos(BAD)= \frac {\sqrt 2}{2}$

Vinkel (BAD) = $ \cos^{-1} (\frac{\sqrt 2}{2} ) =45^{\circ}$

Areal av trekanten;

$A = \frac 12 | \vec{AB} | \cdot | \vec{AD} | \sin(BAD) = \frac 12 \cdot \sqrt{26} \cdot \sqrt{26 \cdot 2} \cdot \frac{\sqrt{2} }{2} =13 $

b)

$\vec{DC} || \vec {AB} , \quad \quad D (x,y) \\ k \vec{DC} = \vec{AB} \\ k[x+2, y-2] = [6,4] \\ kx+2k=6 \wedge ky-2k = 4 \\ x = \frac{6-2k}{k} \wedge y = \frac{4+2k}{k}$

Skalarproduktet mellom AB og BC vektor er null.

$[6,4] \cdot [x-3, y-1] = 0 \\ 6x -18 + 4y -4 = 0 \\ 6x-4y - 22 =0 \\ 6 ( \frac{6-2k}{k}) + 4(\frac{4+2k}{k}) -22 =0 \\ \frac{52}{k} = 26 \\ k =2$

Setter inn i uttrykkene for x og y:

$ x = \frac{6-2k}{k} \wedge y = \frac{4+2k}{k} \\ x = \frac{6-2 \cdot 2}{2} \wedge y = \frac{4+2\cdot 2}{2 } \\ x= 1 \wedge y = 4 $

Dvs. C (1, 4)

c)

E ( s, 2s-2)

$x= -2+3t \wedge y = 2+2t \\ s = -2+3t \wedge 2s-2 = 2+2t \\ 2(-2+3t) - 2 =2+2t \\ -4+ 4t = 4 \\ t= 2 \\ x = -2+6 \wedge y = 2+4 \\ x=4 \wedge y= 6$

Dvs, s = 4

E (4, 6)

d)

Dersom E skal ligge på l og AE vektor være like lang som BE vektor, ser man fra figuren over at E må sammenfalle med D, altså må E ha koordinatene (-2, 2)

Ved regning:

$\vec{AE} = [3t+1, 2t+5] \\ \vec{BE} = [3t-5, 2t+1] \\ |\vec{AE}| = |\vec{AB}| \\ \sqrt{(3t+1)^2 + (2t+5)^2} = \sqrt{(3t-5)^2 +(2t-1)^2 } \\ t=0$

Innsatt i parameterfremstillingen for l gir det (-2, 2) som er sammenfallende med D.

Oppgave 7

$n^2 \cdot (\frac{x}{n})^{ln(x) - 2} = x^2 \quad x> 0 \wedge n>0 \\ (\frac{x}{n})^{ln(x) - 2} = (\frac{x}{n})^2 \\ ln(x) =4 \\ x= 10 000 $

Når x er lik n er brøken lik en og likningen stemmer. Derfor er x = n også en løsning av likningen. Dvs:

x = 10 000 eller x = n.