R1 2012 høst LØSNING
Del 1
Oppgave 1
a)
$f(x)=(2x-1)^2 = 4x^2-4x+1$
Da er
<math>f^\prime(x)=8x-4</math>
Alternativt kan vi benytte kjerneregelen med $2x-1$ som kjerne. Vi får da
$f^\prime(x) = 2(2x-1) \cdot (2x-1)^\prime = 2 \cdot (2x-1) \cdot 2 = 8x - 4$.
b)
<math>g(x)=\sqrt{x^2-2x}</math>
Vi bruker kjerneregelen med <math>x^2 - 2x</math> som kjerne. Da har vi
<math>\begin{eqnarray*} g(x) &=&\frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (x^2 - 2x)^\prime = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \cdot (2x-2) \\ &=& \frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\end{eqnarray*}</math>
c)
Her har vi et produkt av flere faktorer som avhenger av $x$. Da benytter vi produktregelen. For å derivere $e^{3x}$ bruker vi også kjerneregelen. Vi får
$h^\prime(x) = (x^3)^\prime \cdot e^{2x} + x^3 \cdot (e^{2x})^\prime = 3x^2 e^{2x} + x^3 \cdot 2e^{2x} = x^2e^{2x}(3x+2).$
Oppgave 2
a)
En polynomdivisjon $p(x) : (x-a)$ går opp kun dersom $p(a) = 0$. Her får vi da at $f(3)$ må være 0. Det gir oss ligningen
$f(3) = 0 \ \Leftrightarrow \ 3^3 - 3 \cdot 3^2 + k \cdot 3 + 3 = 0 \ \Leftrightarrow \ 3k + 3 = 0 \ \Leftrightarrow \ k = -1.$
b)
Svaret på polynomdivisjon = <math>x^2-1</math>
Dette gir oss førstegradsfaktorer i (x-1)(x+1)(x-3)
Oppgave 3
a)
Vendepunkt har vi der den dobbeltderiverte er 0 og skifter fortegn. Vi har her
<math>f(x)=x^3-3x^2-x+3</math>
<math>f^\prime(x)=3x^2-6x-1</math>
<math>f^{\prime\prime}(x)=6x-6 = 6(x-1)</math>
Den dobbeltderiverte er null for x = 1. Vendepunkt: (1, f(1)) = (1, 0)
b)
Likning for vendetangent: f ' (1) = - 4
y = ax + b
Har punktet (1, 0) og setter inn:
$0 = -4 \cdot 1 +b \\ b = 4 $
Dvs: y = -4x + 4
Oppgave 4
a)
x = 1 er en løsning av likningen. Elven mister en løsning ved ikke å sjekke faktoren (x-1) lik null.
b)
For å finne skjæringspunktet må man sette $f(x)=g(x)$
$(x-1)(x-3)=x-1$
<math>x^2-4x+3=x-1</math> => <math>x^2-5x+4=0</math>, deretter bruker man ABC-formelen for å finne nullpunktene.
Nullpunktene er; $x=4$ og $x=1$
For å finne skjæringspunktene setter man $f(4)$ og $g(1)$. Da finner man en y-verdi. $f(4)=(4-1)(4-3)$ $f(4)=3$, noe som betyr at $y=3$
$g(1)=1-1=0$, noe som betyr at $y=0$.
Skjæringspunktene ligger i punktene $(4,3)$ og $(1,0)$
Oppgave 5
a)
b)
Oppgave 6
a)
<math>3^{4x}+7=34</math> <math>3^{4x}=27</math>
For å løse opp potensene, så må man bruke logaritme.
<math>lg3^{4x}=lg27</math>, så kan man flytte bed 4x. da står man igjen med; 4xlg3=lg27, så deler man på lg 3 på begge sider for å få x alene. Da får vi 4x=3
<math>x=\frac{3}{4}</math>
b)
lgx+lg(x-1)=lg2, her må vi løse opp parentesen først.
lgx+lgx-lg1=lg2, vi vet at lg1=0. => 2lgx=lg2. For å fjerne logaritmetegnene, kan man opphøye de i 10.
Da får vi <math>2*10^{lg}=10^{lg2}</math>
x=1