Potenser
Potenser uten brøkeksponent
Innledning
1000 kan skrives som 10 · 10 · 10 og 100 som 10 · 10. Noen ganger ønsker man å skrive tallene på denne måten. Å skrive 1.000.000 som 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 er både plasskrevende og tungvindt. Man innfører derfor en ny måte å skrive tall på, og vi kalle den for potens.
Eksempel 1
$1000 = 10\cdot 10\cdot10 = 10^3$
En potens består av et grunntall og en eksponent.
Grunntallet i dette tilfellet
er 10
og eksponenten er 3. Eksponenten forteller oss hvor mange ganger grunntallet skal ganges
med seg selv.
Eksempel 2
| Tall | 100000 | 10000 | 1000 | 100 | 10 | 1 | 0,1 | 0,01 | 0,001 |
| Potens | <math> 10^5 </math> | <math> 10^4 </math> | <math>10^3 </math> | <math>10^2 </math> | <math>10^1 </math> | <math>10^0 </math> | <math>10^ {-1} </math> | <math>10^{-2} </math> | <math>10^{-3} </math> |
Eksempel 3
<math>10^9 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot10 \cdot 10 \cdot 10 = 1 000 000 000</math>
Som man ser fra eksempel tre kan potenser ha andre grunntall enn ti.
Regneregler for potenser uten brøkesponent
Reglene nedenfor gjelder kun når potensene har samme grunntall.
Multiplikasjon av potenser
Dersom man skal multiplisere <math>4^3</math> med <math>4^4</math> får man;<math>4^3\cdot 4^4= 4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4 = 4^{3+4}</math>
Den generelle regel for potensmultiplikasjon er:
<math>a^n \cdot a^m = a^{n+m}</math>
Eksempel 4
<math>a^3 \cdot a^2=a^{3+2} = a^5</math>
Divisjon av potenser
Den generelle regel for potensdivisjon er:
<math> \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}</math>
Eksempel 5
<math> \frac{a^3}{a^2} =a^{3-2} = a^1 =a</math>
Potens av potenser
<math> (a^n)^m = a^{n\cdot m}</math>
Eksempel 6
<math> (a^3)^2=a^{3 \cdot 2}= a^6</math>
Tall i nulte
Alle tall (og bokstaver) opphøyd i null er per. definisjon lik 1.
<math> a^0=1</math>
Eksempel 7
<math> \frac{x^5 \cdot x^2}{x^7} = x^{5+2-7}=x^0=1 </math>
Negativ eksponent
<math> a^{-n}= \frac{1}{a^n}</math>
Eksempel 8
<math> 2^{-3}= \frac{1}{2^3} =\frac{1}{8}</math>
Divisor og divident med samme eksponent og forskjellig grunntall
<math> \frac{a^m}{b^m} = (\frac{a}{b})^m </math>
Eksempel 9
<math> \frac{2^5}{7^5} = (\frac{2}{7})^5 </math>
Faktorer med samme eksponent og forskjellige grunntall
<math> a^m \cdot b^m = (ab)^m </math>
Eksempel 10
<math> 3^5 \cdot x^5 = (3x)^5 </math>
Sammensatte problemer
Ofte får man regnestykker der man må kombinere to eller flere regneregler. Her er et par eksempler:
Eksempel 11
<math> \frac{(3^5)^{-2} \cdot 3^{4}}{9^{-1}} = \frac{3^{-10} \cdot 3^{4}}{3^{-2}} = 3^{-10+4-(-2)} = 3^{-4}= \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81} </math>
Eksempel 12
<math> \frac{(a^2b^4)^{3} \cdot b \cdot (a^{-2}b^5)^{-1}}{a^{-2}b^9} = \frac{a^6b^{12} \cdot b \cdot a^{2}b^{-5}}{a^{-2}b^9} = a^{6+2-(-2)}b^{12+1+(-5)-9} = a^{10}b^{-1} = \frac {a^{10}}{b} </math>
Kvadratrot
Kvadratroten av et tall m, er et tall n som ganget med seg selv gir m, og skrives $ \sqrt {m} $
Hva er kvadratroten av 4? Tallet som ganget med seg selv gir 4 er 2. Det skrives slik:
<math>\sqrt {4}= \sqrt {2 \cdot 2} = 2 </math>
Mer generelt: dersom n·n = m så er: <math>\sqrt{m}= \sqrt{n \cdot n} = n </math>
Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.
Ut fra navnet kvadratrot er det naturlig å tro et det er en sammenheng mellom kvadratrot og kvadrat. La oss se!
Et kvadrat har sidekanter med lengde k.
Arealet av kvadratet er k · k, eller k <math>^2</math>. Dersom man setter k = 10 cm betyr det at arealet av kvadratet er 100cm <math>^2</math>. Dersom man kjenner arealet av et kvadrat kan vi bruke kvadratroten til å finne lengden av sidekantene.
Et kvadrat med areal 81 cm <math>^2</math> har sidekanter med lengde:
<math>L = \sqrt{81cm^2}=9cm</math>
Kvadratroten kalles av og til for andreroten og kan også skrives slik:
<math> \sqrt{x}=\sqrt[2]{x}</math>
Det er nyttig å vite dette, men man bruker <math> \sqrt{x}</math> når man ønsker å skrive kvadratroten av x.
n'terot
På samme måten som man kan ta kvadratroten, eller andreroten av at tall, er det også mulig å ta tredjeroten. Tenk deg en terning med sidekanter k. Vi setter k = 5cm. Volumet av terningen blir V = k <math>^3</math> =k · k · k = 5cm · 5cm · 5cm = 125cm <math>^3</math>.
Tredjeroten, eller kubikkroten som den også kalles, kan man bruke til å finne sidekanten av en terning dersom man kjenner volumet. Eksemplet over løser man på følgende måte:
<math>\sqrt[3]{124cm^3}</math>
Når man skal finne tredjeroten jakter vi på det tallet som, ganget med seg selv tre ganger, har et produkt tilsvarende tallet under rottegnet. Vi kan skrive et generelt utrykk slik:
<math>\sqrt[n]{a}</math>
Her må n være et helt positivt tall. Dersom n = 2 (kvadratrot) pleier vi utelate 2 - tallet.
<math>\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2 \cdot2 \cdot2 \cdot 2} =2 </math>
<math>\sqrt[5]{x^5} = \sqrt[5]{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x} =x </math>
Rot som potens & brøk eksponent
Regneregler
$ \sqrt[n]{a}= a^{\frac{1}{n}} $
Eksempel 13
$ \sqrt [5]{32}= 32^{\frac{1}{5}} = (2^5) ^{\frac 1 5} =2 $
$a^{\frac{m}{n}}= \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m $
Eksempel 14
$ 27^{\frac{2}{3}}= \sqrt[3]{27^2} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$
$(ab)^{\frac1n}=\sqrt[n]{a \cdot b} =\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b} $
Eksempel 15
$ (16x^8)^{\frac14}=\sqrt[4]{16 \cdot x^8} =\sqrt[4]{16}\cdot \sqrt[4]{x^8}
=\sqrt[4]{2 \cdot 2\cdot 2 \cdot2}\cdot \sqrt[4]{x \cdot x \cdot x\cdot x\cdot x \cdot x \cdot x \cdot x} = 2x^2 $
$( \frac ab)^{\frac 1n} =\sqrt[n]{\frac ab}= \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{a}} $
Eksempel 16
$ ( \frac {8}{27})^{\frac 13} =\sqrt[3]{\frac {8}{27}}= \frac{2}{3} $
Samensatte problemer
Ofte er en kombinasjon av flere regler nødvendig for å løse et problem:
Skriv <math> \sqrt{a} \cdot a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{- \frac {1}{6}}</math> enklest mulig.
<math> \sqrt{a} \cdot a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{- \frac {1}{6}} =
a^{\frac{1}{2}+ \frac {2}{3} - \frac {1}{6}} =
a^{\frac{3}{6}+ \frac {4}{6} - \frac {1}{6}} =
a^{\frac{6}{6}} = a
</math>
<math> \frac{\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} } {( \sqrt[12]{a})^5 } =
\frac{a^{\frac13} \cdot a^ {\frac14} } {a^{\frac{5}{12}} } =
a^{\frac13+\frac14-\frac{5}{12}}= a^{\frac{4}{12}+\frac{3}{12}-\frac{5}{12}}= a^{\frac{2}{12}}
= a^{\frac{1}{6}}= \sqrt[6]{a}
</math>
<math> \frac {(3a)^{\frac12} \cdot (3\sqrt{a})^{\frac{2}{3}}}{a^{-\frac 12}\cdot (3a^5)^{\frac16}} =
3^{\frac{1}{2}+ \frac {2}{3} - \frac {1}{6}}\cdot a^{\frac{1}{2}+ \frac {2}{6} -(- \frac {1}{2})- \frac56} =
3^{\frac{3}{6}+ \frac {4}{6} - \frac {1}{6}}\cdot a^{\frac{3}{6}+ \frac {2}{6} + \frac {3}{6}- \frac56} = 3 \cdot a^{ \frac 12} = 3 \cdot \sqrt a
</math>
Standardform
Det er plassbesparende å skrive store og små tall på standardform.
Man kan skrive 100 som <math>10^2</math>, men hva med 300? 300 kan skrives som <math>3 \cdot 100</math>, som kan skrives som <math>3 \cdot 10^2</math>. På samme måte kan for eksempel 320 skrives som <math>3,2 \cdot 10^2</math>.
Dette kaller man standardform.
Generelt ser formelen slik ut:
<math> \pm k \cdot10^n </math>
Der n er et helt tall og 1≤ k < 10.
Eksempel 1:
Skriv 320000 på standardform.Løsning:
Komma flyttes fem plasser mot venstre og man får
<math>3,2 \cdot 10^5</math>
Eksempel 2:
Skriv 0,00000012 på standardform.Løsning:
Komma flyttes syv plasser mot høyre og man får
<math>1,2 \cdot 10^{-7}</math>
Eksempel 3:
For å ionisere et hydrogenatom trengs det en energimengde på 0,000 000 000 000 000 00218Joule.
På standardform blir det <math>2,18 \cdot 10^{-18}</math>Joule.
Enkelte kalkulatorer skriver det som 2,18E-18
Eksempel 4:
Utfør multiplikasjonen og skriv på standardform: <math>2,5 \cdot 10^{4} \cdot 5000</math>Løsning:
<math>2,5 \cdot 10^{4} \cdot 5,0 \cdot 10^3 = 2,5 \cdot 5,0 \cdot 10^{4} \cdot 10^3 = 12,5 \cdot 10^{4+3} =12,5 \cdot 10^{7} </math>
Legg merke til at man multipliserer tallene foran tierpotensene for seg, og brukerer regneregler for potenser på tierpotensene. Svaret over er ikke på standardform fordi 12,5 er større enn 10. Man flytter komma en plass mot venstre og øker eksponenten med en. Da får man at:
<math>12,5 \cdot 10^{7} = 1,25 \cdot 10^{8} </math>
Eksempel 5:
For å regne ut eller forenkle, der man har flere tall på standardform i samme uttrykk, bruker man potensreglene:<math>\frac{2\cdot 10^{-23}\cdot 6 \cdot 10^{47}}{8 \cdot 10^{-5}}= \frac{2 \cdot 6}{8} \cdot 10^{-23+47-(-5)}=\frac{12}{8}\cdot 10^{29}=1,5 \cdot 10^{29}</math>