2P 2022 vår K06 LØSNING
Diskusjon av denne oppgaven på matteprat
DEL 1
Oppgave 1
a)
Skriver tallene i stigende rekkefølge:
2 2 4 4 5 5 5 6 6 10
Medianen gjennomsnittet av de to midterste tallene, som begge er 5. Medianen er altså $5$.
Gjennomsnitt: $\frac{2+2+4+4+5+5+5+6+6+10}{10}=\frac{49}{10}=4,9$
Typetallet er det tallet som forekommer flest ganger, nemlig $5$.
Variasjonsbredden er differansen mellom det høyeste og det laveste tallet: $10-2 = 8$
b)
For å finne relativ frekvens for fem fjellturer, tar vi antall forekomster av 5 fjellturer, og deler på antall år med fjellturer:
$\frac{3}{10}=0,3$.
Det forteller oss at 30% av årene, har Sebastian gått 5 fjellturer.
For å finne kumulativ frekvens, legger vi sammen antall forekomster av 5 eller færre fjellturer i året:
$2+2+3 = 7$
Det forteller oss at 7 av årene, har Sebastian gått 5 eller færre fjellturer i året.
Oppgave 2
$\frac{5\cdot 10^6+1,5\cdot 10^7}{2,5\cdot 10^{-6}}$
$ = \frac{5\cdot 10^6+15\cdot 10^6}{2,5\cdot 10^{-6}}$
$ = \frac{20\cdot 10^6}{2,5\cdot 10^{-6}}$
$ = 8\cdot 10^{6-(-6)}$
$ = 8\cdot 10^{12}$
Oppgave 3
a)
Finner 5 % av 600 000 kr:
10 % av 600 000 kr er 60 000 kr. 5 % av 600 000 kr er derfor 30 000 kr.
Verdien av båten om ett år vil være:
600 000 kr - 30 000 kr = 570 000 kr.
b)
Eirik tror at båtens verdi synker lineært med 30 000 kr per år. Til sammen 30 000 kr * 5 = 150 000 kr, som ville gi båten en pris på 450 000 kr om 5 år.
Det kan ikke stemme at båtens verdi synker like mye hvert år, fordi båtens verdi synker eksponentielt (det er en prosentvis nedgang). Det første året synker båtens verdi med 5 % av 600 000 kr, som er 30 000 kr. Det andre året er båten verdt 570 000 kr, og båtens verdi vi synke med 5 % av 570 000 kr, som er mindre enn 30 000 kr. Båtens verdi synker altså med et mindre beløp for verdt år.
Oppgave 4
a)
$K(x)=ax+b$
Vi har punktene (8,54) og (16,58) på grafen.
Finner stigningstallet a: $\frac{58-54}{16-8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
Stigningstallet forteller oss at kartlaven vokser med en halv mm i diameter per år. Jeg antar at det er snakk om ett individ av kartlav.
Finner konstantleddet b: $54-\frac{1}{2}\cdot 8 = 54 - 4 = 50$
Konstantleddet forteller oss at den observerte kartlaven hadde en diameter på 50 mm ved første observasjon.
b)
I løpet av 200 år øker diameteren med kartlaven med $\frac{1}{2} mm/ år \cdot 200\, år = 100 \, mm$, det vil si $10\, cm$.
Oppgave 5
| Antall krabber | Klassemidtpunkt (m) | Antall dager (f) | m*f |
|---|---|---|---|
| [0,20> | 10 | 5 | 50 |
| [20,30> | 25 | 10 | 250 |
| [30,40> | 35 | 10 | 350 |
| [40,60> | 50 | 15 | 750 |
| [60,100> | 80 | 20 | 1600 |
| Sum | 60 | 3000 |
Gjennomsnitt: $\frac{3000}{60} = 50$
Det var i gjennomsnitt 50 krabber per dag i teinene.
b)
Den 30. dagen (av 60) ligger 5 dager "inn" i klassen [40,60> krabber. Vi antar at antall krabber funnet de 15 dagene i klassen [40,60> er jevnt fordelt i klassen. Tar klassebredden delt på antall dager i klassen, ganger 5:
Medianen vi være $\frac{20}{15}\cdot 5 = 20\cdot \frac{1}{3} \approx 7$ krabber "inn" i klassen, altså 47. Stian kan altså ha rett.
c)
Det er ikke sikkert at antall krabber funnet de 15 dagene i klassen [40,60> er helt jevnt fordelt. Det kan like gjerne være at de fant 59 krabber i 15 dager. Dette vet vi ikke, men kanskje Sebastian har en formening om det? Han kan altså ha rett, men vi vet det ikke sikkert.
d)
| Antall krabber | Klassebredde (b) | Antall dager (f) | Histogramhøyde (f/b) |
|---|---|---|---|
| [0,20> | 20 | 5 | 0,25 |
| [20,30> | 10 | 10 | 1 |
| [30,40> | 10 | 10 | 1 |
| [40,60> | 20 | 15 | 0,75 |
| [60,100> | 40 | 20 | 0,5 |
Siden dette er del 1, må du tegne histogrammet for hånd.
Oppgave 6
a)
Jeg tegner figur 5 ved å følge mønsteret, og finner 65 sirkler i figur nr. 5.
Jeg tenker meg at figuren består av et kvadrat i midten, som har $5^2= 25$ sirkler. Den har i tillegg 4 trekanter, som hver har $\frac{4\cdot 5}{2}=10 $ sirkler. Til sammen har figuren $25+10\cdot 4=65$ sirkler.
b)
Jeg følger logikken fra oppgave a). Figur nr. n vil ha et kvadrat i midten, med $n^2$ sirkler. Den vil i tillegg ha 4 trekanter som hver har $\frac{(n-1)n}{2}$ sirkler. Til sammen har figuren $n^2 + 4\cdot \frac{(n-1)n}{2} = n^2 + 2n(n-1) = n^2 + 2n^2 -2n = 3n^2 - 2n $ sirkler. Det kan også skrives som $(3n-2)n$ sirkler.
DEL 2
Oppgave 1
a)
$N(x)=5,0\cdot\frac{1}{2}^{0,125x}$
$N(0)=5,0\cdot\frac{1}{2}^{0} = 5,0 \cdot 1 = 5,0$
Massen jod-131 som er i beholderen i utgangspunktet er 5,0 mikrogram.
b)
c)
Tegner linjen y=2.5 og bruker "skjæring mellom to objekter" for å finne skjæringspunktet mellom linja og grafen til N. Finner en halveringstid på 8 dager (se punkt A).
d)
Tegner punktene B=(6,N(6)) og C=(40,N(40)). Lager en linje mellom de to punktene ved å bruke knappen "Linje". Bruker knappen "Stigning" til å finne stigningstallet til linja. Stigningstallet er -0.083 mikrogram per dag. Dette er den gjennomsnittlige vekstfarten fra dag 6 til dag 40. Det forteller oss at massen jod-131 minker med gjennomsnittlig 0,083 mikrogram per dag mellom den 6. og den 40. dagen.
e)
Lager punktet D=(20,N(20)) og bruker knappen "Tangenter" til å finne tangenten til grafen N i punktet D. Bruker knappen "Stigning" til å finne stigningstallet, som er -0.077 mikrogram per dag. Det forteller oss at den 20. dagen, så synker massen jod-131 med en fart på 0.077 mikrogram per dag.
Oppgave 2
a)
Dette er en omvendt proporsjonal sammenheng. Modellen som heg tegner i Geogebra blir:
$f(x)=\frac{8000}{x}$
Punktet A=(5,1600) forteller at dersom 5 personer blir med på hytta, må hver person betale 1600 kroner.
b)
Bruker CAS i Geogebra til å finne prosent årlig vekst (det er også mulig å finne ved prøving og feiling). Finner en vekst på ca. 7,18 % per år. Vekstfaktoren blir da 1.0718, og den eksponentielle modellen blir:
$g(x)=30000\cdot 1.0718^x$
Punktet B=(5,42431) forteller oss at i starten av det 5. året, så er antall innbyggere 42431 personer, ifølge modellen.
Oppgave 3
$G = \frac{410000}{1,07^4\cdot 1,025^3\cdot 0,96^3}$
$G \approx 328294$
Verdien av Trines andel i fondet for 10 år siden var omtrent 328 294 kroner.