Likningsett

Et likningssett er en samling (to eller flere) likninger i én eller flere variabler.

Lineære likningssett

Lineære likningsett er likningssett på formen [Tex kommer her]. Vanlige løsningsmetoder for slike likningssett er substitisjonsmetoden, addisjonsmetoden og grafisk løsning

Løsningsmetoder

Innsettingsmetoden

Denne metoden går ut på å erstatte Y i den ene ligningen med utrykket som inneholder X i den andre. Y (og X) har samme verdi i begge ligningene, derfor kan vi gjøre dette. I stede for Y i ligning (2) setter vi inn høyre siden av ligning (3). Vi får da:

Setter vi X = 1 inn i en av de to ligningene, samme hvilken , ser vi at vi får Y = 3.

Vi har nå funnet at løsningen til ligningssettet er X = 1 og Y = 3.

<tex> l</tex>

Eksempel

<tex> 2y = x + 1 </tex>

<tex> 3y = 7x - 4 </tex>

Løser første ligning med hensyn på x:

<tex> x = 2y - 1 </tex>

<tex> 3y = 7x - 4 </tex>

Setter uttrykket for x inn i ligning to.

<tex> 3y = 7(2y -1) -4 </tex>

<tex> 3y = 14y - 7 - 4 </tex>

<tex> -11y = -11 </tex>

<tex> y = 1 </tex>

Innsatt i en av ligningene over gir det x = 1

x = 1 og y = 1

Addisjonsmetoden

Addisjonsmetoden går som navnet tilsier ut på å legge sammen ligningene slik at vi får X eller Y til å forsvinne. La oss legge sammen ligning (1) og (2). Vi ser at verken X eller Y forsvinner sånn uten videre. Men, om vi først multipliserer ligning (2) med 2 ser vi at vi oppnår det vi ønsker. Vi får:

Vi setter inn Y = 3 i en av ligningene og får X = 1.

I beste fall kan vi addere ligningene direkte. Dersom den ukjente har en faktor med samme absoluttverdi, men med motsatt fortegn er det tilfelle.

Eksempel:

<tex> -y = x - 5</tex>

<tex> y = x - 3</tex>

Adder direkte og får

<tex> y = x - 3</tex>

<tex> x=4</tex>

Setter inn x=4 i en av ligningene og får y = 4-3 =1 x = 4 og y = 1 I nest beste fall må man multiplisere en av ligningene slik at den ukjente forsvinner ved addisjon.

Eks 2:

2y = x + 4

y =-x + 5

Multipliser ligning to med minus to, før addisjon.

2y = x + 4

-2y = 2x -10

---

0 = 3x - 6

x = 2

Innsatt i en av ligningene gir det y = -2 + 5 = 3 x = 2 og y = 3 I verste fall må begge ligningene multipliseres med det som gir faktorenes minste multiplum.

Eks 3:

3y = 6x - 3

2y = -2x + 4

---

Minste felles multiplum til 2 og 3 er 6, hvilket betyr at første ligning multipliseres med 2 og den andre med 3.

3y = 6x - 3 | 2

2y = -2x + 4 | (-3)

---

6y = 12x - 6

-6y = 6x - 12

---

0 = 18x - 18

x = 1

Innsatt x =1 i ligningene over gir y =1 x =1 og y = 1

Tilnærmingsmetoder

Av og til er likningssett for kompliserte til å løse nøyaktig, eller man ønsker seg bare tilnærminger til de korrekte svarene.

Grafisk løsning

Denne metoden fungerer kun for likningssett i to variabler.

Ligningen 2X + 7 = 13 har en ukjent, x, og løses lett med metodene beskrevet i kapittelet om ligninger med en ukjent (kapittel 8).

Vi kan ha flere ukjente, for eksempel to.

Y = 2X + 1 Her er både X og Y ukjente.

Ligningen har uendelig mange løsninger. Ligningen er et funksjonsutrykk for en rett linje.

Dersom ligninger med flere ukjente skal ha entydige løsninger må man ha like mange ligninger som man har ukjente.
Dersom vi har to ligninger med to ukjente, kalles dette et sett med ligninger, eller et ligningssett.
Y = 2X + 1
Y = - X + 4
Ligningen (1) og (2) hører sammen. Målet er å finne en X- verdi og en Y- verdi som passer i både (1) og (2).
Det finnes tre forskjellige måter å løse ligningssettet på. [feil - det finnes mange flere. Metodene over, cramers regel, etc. Grafisk løsning er kun en tilnærmingsmetode, og bør ikke nevnes sammen med de to andre] Vi skal se på alle tre metodene.
addisjonsmetoden
innsettingsmetoden
grafisk løsning
Dersom du får i oppgave å løse et ligningsett er det likegyldig hvilken metode du bruker, alle tre gir samme svar. Du bør allikevel beherske alle metodene da du ofte blir bedt om å løse ligningssettet ved hjelp av en spesiell metode.