Introduksjon til differensiallikninger: Forskjell mellom sideversjoner
(43 mellomliggende versjoner av 4 brukere er ikke vist) | |||
Linje 1: | Linje 1: | ||
==Innledning== | |||
En differensialligning vil typisk beskrive en forandring av en variabel i tid og/eller rom. Den skiller seg fra "vanlige" ligninger ved at løsningene er funksjoner, ikke bestemte verdier. Teorien for differensialligninger er fundamental for forståelsen av dynamikken i naturen og danner grunnlaget for blant annet klassisk mekanikk og kvantemekanikk. Vi deler diff.ligningene inn i partielle og ordinære ligninger, der matematikken i videregående skole kun fokuserer på ordinære ligninger, ofte kalt ODE (Ordinary Differential Equations). Dvs. at løsningsfunksjonen kun har én variabel, som oftest kalt | En differensialligning vil typisk beskrive en forandring av en variabel i tid og/eller rom. Den skiller seg fra "vanlige" ligninger ved at løsningene er funksjoner, ikke bestemte verdier. Teorien for differensialligninger er fundamental for forståelsen av dynamikken i naturen og danner grunnlaget for blant annet klassisk mekanikk og kvantemekanikk. Vi deler diff.ligningene inn i partielle og ordinære ligninger, der matematikken i videregående skole kun fokuserer på ordinære ligninger, ofte kalt ODE (Ordinary Differential Equations). Dvs. at løsningsfunksjonen kun har én variabel, som oftest kalt | ||
* På ungdomstrinnet og videregående grunnkurs arbeidet man med ligninger der den ukjente var et tall, ofte kalt | * På ungdomstrinnet og videregående grunnkurs arbeidet man med ligninger der den ukjente var et tall, ofte kalt | ||
* I differensialligninger er den ukjente en funksjon | * I differensialligninger er den ukjente en funksjon | ||
* I denne artikkelen skriver vi | * I denne artikkelen skriver vi | ||
* Man bør være fortrolig med ligninger, funksjonslære, integrasjon og derivasjon før man gir seg i kast med differensialligninger. | |||
* Ligningene er viktige i fysikk og andre fag, der de kan brukes til å modellere forskjellige situasjoner der størrelser forandrer seg over tid. | |||
== Ordenen til en diff.ligning == | == Ordenen til en diff.ligning == | ||
Formelt vil en ordinær diff.ligning være på formen | Formelt vil en ordinær diff.ligning være på formen | ||
< | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | ||
'''Eksempel: Diff.ligning av første orden''' | |||
En enkel ordinær differensialligning av første orden er | En enkel ordinær differensialligning av første orden er | ||
< | </div> | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | |||
'''Eksempel: Diff.ligning av 2.orden''' | |||
En enkel andreordens ordinær differensialligning er | En enkel andreordens ordinær differensialligning er | ||
</ | |||
</div> | |||
== Førsteordens lineære ligninger == | == Førsteordens lineære ligninger == | ||
Linje 34: | Linje 43: | ||
Lineære differensialligninger av første orden kan skrives på formen | Lineære differensialligninger av første orden kan skrives på formen | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | |||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{linearEqFirstOrder} | \label{linearEqFirstOrder} | ||
y' + ay = b | y' + ay = b | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
</div> | |||
At en | Her er | ||
Linje 45: | Linje 56: | ||
Dersom | Dersom | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
Linje 55: | Linje 66: | ||
* Multiplikasjon med ''integrerende faktor'' | |||
* Som en ''separabel'' ligning | |||
=== [[Integrerende faktor]] === | |||
Når vi bruker integrerende faktor tenker vi multiplikasjonsregelen for derivasjon, baklengs. Vi omformer da to ledd til et produkt. Den integrerende faktorene er | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | |||
'''Eksempel: Homogen ligning, integrerende faktor''' <p></p> | '''Eksempel: Homogen ligning, integrerende faktor''' <p></p> | ||
Linje 80: | Linje 90: | ||
For å finne ut hva | For å finne ut hva | ||
</ | </div> | ||
< | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | ||
'''Eksempel: Inhomogen ligning, integrerende faktor''' <p></p> | '''Eksempel: Inhomogen ligning, integrerende faktor''' <p></p> | ||
Linje 99: | Linje 110: | ||
For å finne ut hva | For å finne ut hva | ||
</ | </div> | ||
=== [[Separable differensiallikninger]] === | |||
Separable ligninger er på formen | |||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
\label{separableDiffEq} | \label{separableDiffEq} | ||
\frac{dy}{dx} = g(x)h(y) | \frac{dy}{dx} = g(x)\cdot h(y) | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Linje 120: | Linje 131: | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
, der | , der | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | |||
'''Eksempel: Separabel ligning''' <p></p> | |||
Vi skal løse ligningen | |||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
\frac{dy}{dx} &=-4xy \ | \frac{dy}{dx} &=-4xy \ | ||
\frac{dy}{y} &=-4x\,dx \ | \frac{dy}{y} &=-4x\,dx \ | ||
Linje 134: | Linje 147: | ||
y &= y_0 \cdot e^{-2x^2} | y &= y_0 \cdot e^{-2x^2} | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
Her har vi omdøpt konstanten foran eksponentialfunksjonen, slik at | |||
</div> | |||
== Homogene lineære andreordens diff.ligninger med konstante koeffisienter == | |||
En generell andreordens diff.ligning er på formen | |||
\begin{equation} | |||
A(x)y^{\prime\prime} + B(x)y' + C(x)y = D(x) | |||
\end{equation} | |||
<b>Konstante koeffisienter</b> betyr at A(x), B(x) og C(x) | * Ligningen er <b>homogen</b> dersom | ||
* <b>Konstante koeffisienter</b> betyr at $A(x)$, $B(x)$ og $C(x)$ er konstanter uavhengig av | |||
* <b>Andreordens</b> betyr at den dobbelderiverte opptrer i ligningen. I en tredjeordens ligning vil den tredjederiverte opptre. | |||
* <b>Lineær</b> betyr at produkter eller potenser av $y$ og dens deriverte ikke forekommer i ligningen. $y^{\prime\prime} = yy'$ er således et eksempel på en ikkelineær ligning. | |||
* <b>Karakteristisk ligning</b> til | |||
<b>Andreordens</b> betyr at den dobbelderiverte opptrer i ligningen. I en | |||
<b>Lineær</b> betyr at produkter eller potenser av y og dens deriverte ikke | |||
< | |||
Den karakteristiske ligningen kan ha tre ulike typer løsninger: | |||
* To ulike reelle røtter | |||
* Én reell rot | |||
* To komplekse røtter | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | |||
Dersom ligningen har to reelle røtter gir det generell løsning<p></p> | |||
</div> | |||
< | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | ||
'''Eksempel: To reelle røtter''' <p></p> | |||
<math> y^{\prime\prime} + y' = 2y \ | |||
y^{\prime\prime} + y' - 2y = 0 \ | |||
''' | |||
<math> y^{ | |||
y^{ | |||
r^2 + r - 2 = 0 \ | r^2 + r - 2 = 0 \ | ||
r = 1 \ | r = 1 \vee r = 2 \ | ||
y(x) = C_1e^x + C_2e^{2x}</math> | y(x) = C_1e^x + C_2e^{2x}</math> | ||
</ | </div> | ||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A1D%2BA1E%2BA1F%2BA20%2BA21%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A1D%2BA1E%2BA1F%2BA20%2BA21%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | ||
Linje 199: | Linje 196: | ||
< | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | ||
Dersom ligningen har | Dersom ligningen har én reell rot blir løsningen på formen<p></p> | ||
< | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | |||
''' | '''Eksempel: Én reell rot'''<p></p> | ||
</ | |||
$4y^{\prime \prime} + 8y' + 4y =0 \r^2 + 2r + 1 = 0 \r = -1\y(x) = C_1e^{-x} + C_2xe^{-x}$ | |||
</div> | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A22%2BA23%2BA24%2BA25%2BA26%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A22%2BA23%2BA24%2BA25%2BA26%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | ||
< | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | ||
Dersom ligningen har to | Dersom ligningen har to komplekse røtter, <math>r_1 = a + ib</math> og <math>r_2 = a - ib</math>, blir løsningen | ||
<math>y(x) = e^{ax}\left (C_1 \cos(bx) + C_2 \sin (bx)\right )</math></div> | |||
<p></p> | <p></p> | ||
<math>y^{ | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | |||
'''Eksempel: To komplekse røtter''' <p></p> | |||
<math>y^{\prime\prime}-y' + y = 0 \ | |||
r^2 - r + 1= 0 \ | r^2 - r + 1= 0 \ | ||
r_1 = \frac12 + \frac32i | r_1 = \frac12 + \frac32i, \quad r_2 = \frac12 - \frac32i \ | ||
r_2 = \frac12 - \frac32i | y(x) = e^{\frac12x}\left (C_1 \cos(\frac32x) + C_2 \sin (\frac32x)\right )</math> | ||
y(x) = e^{\frac12x}(C_1 cos(\frac32x) + C_2 sin (\frac32x))</math> | </div> | ||
</ | |||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A2A%2BA2B%2BA2C%2BA2D%2BA2E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A2A%2BA2B%2BA2C%2BA2D%2BA2E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | ||
== Initialverdiproblemer == | == Initialverdiproblemer == | ||
I eksemplene over (og senere) ser man at den generelle løsningen inneholder en eller to | I eksemplene over (og senere) ser man at den generelle løsningen inneholder en eller to | ||
konstanter | konstanter | ||
For å finne den spesielle løsningen til en ligning trenger man en eller flere tileggsopplysninger. | For å finne den spesielle løsningen til en ligning trenger man en eller flere tileggsopplysninger. | ||
<p></p> | <p></p> | ||
Linje 239: | Linje 242: | ||
<p></p> | <p></p> | ||
Initialbetingelsen(e) kan være knyttet til situasjonen ved tiden t = 0, altså når en prosess starter, | Initialbetingelsen(e) kan være knyttet til situasjonen ved tiden $t = 0$, altså når en prosess starter, | ||
eller den kan gis i form av en funksjonsverdi for en annen argumentverdi. | eller den kan gis i form av en funksjonsverdi for en annen argumentverdi. | ||
<p></p> | <p></p> | ||
''' | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | ||
<p></p> | |||
'''Eksempel: Initialverdiproblem''' <p></p> | |||
Finn den spesielle løsningen til initialverdiproblemet:<p></p> | Finn den spesielle løsningen til initialverdiproblemet:<p></p> | ||
<math>\frac{dy}{dx} = 3x + 2 \hspace{50 mm} y (1)= 3 \ | <math>\frac{dy}{dx} = 3x + 2 \hspace{50 mm} y (1)= 3 \ | ||
dy = (3x + 2)dx \ | dy = (3x + 2)\,dx \ | ||
y(x) = \int | y(x) = \int 3x + 2 \,dx \ | ||
y(x) = \frac 32x^2 + 2x + | y(x) = \frac 32x^2 + 2x + C </math> | ||
Dette er den generelle løsningen.<p></p> | Dette er den generelle løsningen.<p></p> | ||
For å finne den spesielle løsningen benytter vi opplysningen | For å finne den spesielle løsningen benytter vi opplysningen | ||
y(1) = 3.<p></p> | $y(1) = 3$.<p></p> | ||
<math>y(1) = \frac 32 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 + | <math>y(1) = \frac 32 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 + C = 3 \ | ||
C = - \frac 12 </math> | C = - \frac 12 </math> | ||
Linje 261: | Linje 266: | ||
</ | |||
</div> | |||
== Retningsdiagram == | == Retningsdiagram == | ||
Førsteorden ligninger kan skrives som y'(x) = F(x,y) der x er den variable og y er den ukjente | |||
funksjonen. | |||
Førsteorden ligninger kan skrives som $y'(x) = F(x,y)$ der $x$ er den variable og $y$ er den ukjente | |||
< | funksjonen. Dette gir stigningstallet til tangen i punktet $(x,y)$. Dette gir et bilde av hvordan grafene til løsningsfunksjonene ser ut og kalles et retningsdiagram for differensialligningen. <p></p> | ||
''' | På engelsk er betegnelsen "slope field".<p></p> Utfra retningsdiagrammet får vi også et bilde av hvordan ulike integralkurver ser ut. | ||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | |||
'''Eksempel: Retningsdiagram''' | |||
<p></p> | <p></p> | ||
Gitt er ligningen y' = 2 | Gitt er ligningen $y' = 2$ | ||
<p></p> | <p></p> | ||
Vi observerer at stigningstallet til $y(x)$ er $2$ for alle $x$. Løsningen på ligningen er en eller | |||
annen rett linje med stigningstall 2. Et retningsdiagram illustrerer dette:<p></p> | annen rett linje med stigningstall $2$. Et retningsdiagram illustrerer dette:<p></p> | ||
[[Bilde:Rettning1.png]] | [[Bilde:Rettning1.png]] | ||
<p></p> | <p></p> | ||
Dersom man løser ligningen y' = 2 | Dersom man løser ligningen $y' = 2$ | ||
<p></p> | <p></p> | ||
får man $y = 2x + C$, når man integrerer på begge sider. | |||
<p></p> | <p></p> | ||
Vi ser nå at retningsdiagrammet stemmer: $C$ skyver grafen opp eller ned i koordinatsystemet. Verken $x$ eller $y$ har noen betydning for grafens form. Diagrammet indikerer en løsning for | |||
y = | |||
</div> | |||
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> | |||
'''Eksempel: Retningsdiagram''' | |||
Gitt er ligningen $y' = x + 1$ | |||
Man observerer at stigningstallet til | |||
for | |||
[[Bilde:Rettning2.png]] | [[Bilde:Rettning2.png]] | ||
når man integrerer på begge sider. | Dersom man løser ligningen | ||
Retningsdiagrammet indikerer at løsningen er en parabel med minimum i x = -1 | |||
Retningsdiagrammet indikerer at løsningen er en parabel med minimum i $x = -1$. | |||
</ | </div> | ||
---- | ---- | ||
[[Kategori:Algebra]] | [[Kategori:Algebra]] | ||
[[Kategori:R2]] | [[Kategori:R2]] | ||
[[Kategori:Ped]] | [[Kategori:Ped]] |
Siste sideversjon per 12. okt. 2021 kl. 11:25
Innledning
En differensialligning vil typisk beskrive en forandring av en variabel i tid og/eller rom. Den skiller seg fra "vanlige" ligninger ved at løsningene er funksjoner, ikke bestemte verdier. Teorien for differensialligninger er fundamental for forståelsen av dynamikken i naturen og danner grunnlaget for blant annet klassisk mekanikk og kvantemekanikk. Vi deler diff.ligningene inn i partielle og ordinære ligninger, der matematikken i videregående skole kun fokuserer på ordinære ligninger, ofte kalt ODE (Ordinary Differential Equations). Dvs. at løsningsfunksjonen kun har én variabel, som oftest kalt
- På ungdomstrinnet og videregående grunnkurs arbeidet man med ligninger der den ukjente var et tall, ofte kalt
.
- I differensialligninger er den ukjente en funksjon
. En differensialligning gir sammenhengen mellom en ukjent funksjon og noen av dens deriverte.
- I denne artikkelen skriver vi
og om hverandre. Den siste skrivemåten kalles Leibniz' notasjon etter den tyske filosofen og matematikeren Gottfried Wilhelm Leibniz.
- Man bør være fortrolig med ligninger, funksjonslære, integrasjon og derivasjon før man gir seg i kast med differensialligninger.
- Ligningene er viktige i fysikk og andre fag, der de kan brukes til å modellere forskjellige situasjoner der størrelser forandrer seg over tid.
Ordenen til en diff.ligning
Formelt vil en ordinær diff.ligning være på formen
Eksempel: Diff.ligning av første orden
En enkel ordinær differensialligning av første orden er
Eksempel: Diff.ligning av 2.orden
En enkel andreordens ordinær differensialligning er
Førsteordens lineære ligninger
Lineære differensialligninger av første orden kan skrives på formen
Her er
Homogene og inhomogene førsteordens diff.ligninger
Dersom
Slike ligninger kan løses på to måter:
- Multiplikasjon med integrerende faktor
- Som en separabel ligning
Integrerende faktor
Når vi bruker integrerende faktor tenker vi multiplikasjonsregelen for derivasjon, baklengs. Vi omformer da to ledd til et produkt. Den integrerende faktorene er
Vi skal løse
For å finne ut hva
Vi skal løse
For å finne ut hva
Separable differensiallikninger
Separable ligninger er på formen
, der
, der
Vi skal løse ligningen
Her har vi omdøpt konstanten foran eksponentialfunksjonen, slik at
Homogene lineære andreordens diff.ligninger med konstante koeffisienter
En generell andreordens diff.ligning er på formen
- Ligningen er homogen dersom
. Det gir oss - Konstante koeffisienter betyr at
, og er konstanter uavhengig av . Vi skriver ligningen på formen - Andreordens betyr at den dobbelderiverte opptrer i ligningen. I en tredjeordens ligning vil den tredjederiverte opptre.
- Lineær betyr at produkter eller potenser av
og dens deriverte ikke forekommer i ligningen. er således et eksempel på en ikkelineær ligning. - Karakteristisk ligning til
er
Den karakteristiske ligningen kan ha tre ulike typer løsninger:
- To ulike reelle røtter
- Én reell rot
- To komplekse røtter
Dersom ligningen har to komplekse røtter,
Initialverdiproblemer
I eksemplene over (og senere) ser man at den generelle løsningen inneholder en eller to
konstanter
Når en differensialligning er gitt med initialbetingelser kalles det for et initialverdiproblem.
Initialbetingelsen(e) kan være knyttet til situasjonen ved tiden
For å finne den spesielle løsningen benytter vi opplysningen
Retningsdiagram
Førsteorden ligninger kan skrives som
funksjonen. Dette gir stigningstallet til tangen i punktet
På engelsk er betegnelsen "slope field".
Utfra retningsdiagrammet får vi også et bilde av hvordan ulike integralkurver ser ut.
Eksempel: Retningsdiagram
Gitt er ligningen
Vi observerer at stigningstallet til
Dersom man løser ligningen
får man
Vi ser nå at retningsdiagrammet stemmer:
Eksempel: Retningsdiagram
Gitt er ligningen
Man observerer at stigningstallet til
Dersom man løser ligningen
Retningsdiagrammet indikerer at løsningen er en parabel med minimum i