Vis kilden til Bevis for derivasjon av e^x


Bevis for derivasjon av $e^x$



Tallet $e^x$ kan defineres som $e^x= \displaystyle \lim_{n \rightarrow  \infty} (1+ \frac{1}{n})^n$  eller  $e^x= \displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} (1+ n)^{\frac 1 n}$

Da skal vi bevise at den deriverte til  $e^x$ er det samme som $e^x$, fasinerende spør du  meg. Du vil få bruk for regnereler for potenser.

$(e^x)'= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^{x + \Delta x} - e^x}{\Delta x} =  
\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{e^{x } \cdot e^{\Delta x} - e^x}{\Delta x} =
e^x \cdot \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$


Vi har et produkt av e i x og en grenseverdi. På tide å finne ut mere om grenseverdien.


$  \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac {e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$

Setter $ n ={e^{\Delta x} - 1}$

Da blir nevner $(n+1) = e^{\Delta x} \\ \Delta x = ln |n+1|$

Vi får da:

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} \frac {n}{\ ln |n+1|}= \displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} \frac {1}{\frac 1 n \ ln |n+1|}=  \displaystyle \lim_{n \rightarrow 0} \frac {1}{\ ln( |n+1|)^{\frac 1 n }}= \frac{1}{ln(e)} = 1$


Over brukte vi identiteten i første linje. Vi får da at 

$( e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$

Hvilket skulle bevises,


[[ Derivasjonsregler ]]