Andregradslikninger og noen av tredje grad

Fra Matematikk.net
Hopp til:navigasjon, søk

Innledning

Fra siden om potenser uten brøkeksponent vet vi at $x \cdot x = x^2$. Sagt med ord sier vi at "$x$ multiplisert med seg selv er lik $x$ i andre". Andregradslikninger inneholder alltid et ledd hvor $x^2$ er en faktor.

En andregradslikning er en likning på formen $ax^2 + bx + c = 0$, der $a$, $b$ og $c$ er konstanter og $a \neq 0$. Konstantene i en annengradslikning kalles koeffisienter.

En løsninger av en likning kalles også en rot i likningen. Å finne røttene i en likning er altså det samme som å løse likningen.

En fullstendig andregradslikning skrives på formen

$ \displaystyle ax^2 + bx + c = 0 $

Likningen har tre ledd:

  • <math> ax^2 </math> kalles andregradsleddet,
  • <math> bx </math> kalles førstegradsleddet,
  • <math> c </math> kalles konstantleddet.



Ufullstendig likninger

Dersom minst en av koeffisientene $b$ eller $c$ er lik null sier vi at andregradslikningen er ufullstendig. Dette er spesialtilfeller av andregradslikninger, fordi én av koeffisientene er lik null, slik at likningene mangler et ledd.

Dersom $a = 0$ har vi en førstegradslikning som løses med metoden beskrevet i likninger av første grad.


Tilfellet b = 0


Dersom $b = 0$ ser likningen slik ut:

$ \displaystyle ax^2 + c = 0 $

Denne løses med "bytt og flytt", for så å ta kvadratrot:

$ \begin{aligned} x = \pm \sqrt {- \frac {c}{a}} \end{aligned} $

Legg merke til at enten $a$ eller $c$ (men ikke begge!) må være negativ for at denne likningen skal ha en løsning. Vi kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.


Eksempel 1:


Løs likningen

$ \displaystyle 4x^2 - 8 = 0 $

Vi løser ved "bytt og flytt" og deretter ta kvadratroten:

$ \begin{aligned} 4x^2 &= 8 \\ x^2 &= \frac84 \\ x &= \pm \sqrt { \frac {8}{4}} \end{aligned} $

$ \displaystyle x = \sqrt {2} \qquad \vee \qquad x = - \sqrt {2} $


Tilfellet c = 0


Dersom $c = 0$ har vi følgende formel:

$ \displaystyle ax^2 + bx = 0 $

Vi løser ved faktorisering:

$ \displaystyle x (ax + b) = 0 $

$ \begin{aligned} x = 0 \qquad &\vee \qquad ax + b = 0 \\ x = 0 \qquad &\vee \qquad x = - \frac ba \end{aligned} $


Eksempel 2:


Løs likningen

$ \displaystyle -3x^2 + 6x = 0 $

Løsning ved faktorisering:

$ \displaystyle x (-3x + 6) = 0 $

$ \begin{aligned} x = 0 \qquad &\vee \qquad -3x + 6 = 0 \\ x = 0 \qquad &\vee \qquad x = 2 \end{aligned} $

ABC-formelen

En andregradslikning på formen $ax^2 + bx + c =0$ kan alltid løses ved hjelp av ABC-formelen, som ser slik ut:


ABC-formelen er

$ \displaystyle x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $

når

$ \displaystyle ax^2 + bx + c =0 $

  • Dersom $b^2-4ac$ er positiv, vil likningen ha to ulike løsninger.
  • Dersom $b^2-4ac = 0$ kan vi si at likningen har en enkelt løsning - eller også to like løsninger.
  • Dersom $b^2 - 4ac$ er mindre enn null, får vi ingen løsning.




Eksempel 3:


Løs likningen

$ \displaystyle 3x^2 + 2x - 1 =0 $

Likningen har koeffisenter $a = 3$ , $b = 2$ og $c = -1.$

Ved å bruke ABC-formelen får man:

$ \begin{aligned} x &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} \\ \\ &= \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{6} \\ \\ &= \frac{-2 \pm 4}{6} \end{aligned} $

Likningen har to ulike løsninger:

$ \begin{aligned} x = \frac{-2 + 4}{6} \qquad &\vee \qquad x= \frac{-2 - 4}{6} \\ \\ x = \frac{1}{3} \qquad &\vee \qquad x = - 1 \end{aligned} $




Eksempel 4:


Finn røttene i likningen

$ \displaystyle -x^2 + 4x - 4 =0 $

Koeffisientene er $a = -1$ , $b = 4$ og $c = -4.$


Ved å bruke ABC-formelen får man:

$ \begin{aligned} x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \cdot (-1) \cdot (-4)}}{2 \cdot (-1)} \\ \\ &= \frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{-2} \end{aligned} $

Med null under rottegnet får man kun en løsning, $x = 2$.



Eksempel 5:


Løs likningen:

$ \displaystyle 3x^2 + - 2x + 2 =0 $

Koeffisientene er $a = 1$ , $b = -2$ og $c = 2$.


Ved å bruke ABC-formelen får man:

$ \begin{aligned} x &= \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ \\ &= \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} \\ \\ &= \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} \end{aligned} $

Her ser man et man får et negativt tall under rottegnet. Da er det på tide å stoppe opp og konkludere med at likningen ikke har reell løsning.


Eksempel 6:


Løs likningen:

$ \displaystyle 4x^2 - 1 =0 $

Koeffisientene er $a = 4$ , $b = 0$ og $c = -1.$


Likningen mangler førstegradsleddet ($b = 0$), og det enkleste i dette eksempelet er å bruke "bytt og flytt" og så ta kvadratroten, som vist over. Det er også fullt mulig å bruke ABC-formelen, og da får man:

$ \begin{aligned} x &= \frac{ \pm \sqrt{-4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} \\ \\ &= \frac{ \pm \sqrt{16}}{8} \\ \\ &=\pm \frac{ 4}{8} \end{aligned} $

Likningen har to løsninger:

$ \displaystyle x= \frac{1}{2} \qquad \vee \qquad x= - \frac{1}{2} $



Eksempel 7:


Løs likningen:

$ \displaystyle -3x^2 + 6x = 0 $

Koeffisentene er $a = -3$ , $b = 6$ og $c = 0.$


Ved å bruke ABC-formelen får man:

$ \begin{aligned} x &= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2}}{-6} \\ \\ &= \frac{-6 \pm 6}{-6} \end{aligned} $

$ \displaystyle x= 2 \qquad \vee \qquad x= 0 $

Man ser at ABC-formelen virker her også, men siden konstantleddet mangler ($c = 0$), ville det være mer fornuftig å faktorisere ut $x$ og løse likningene som vist over.





Grafisk fremstilling av andregradslikninger

Hvorfor har noen likninger to løsninger, noen en og andre ingen? Det kan vi forstå dersom vi studerer grafen til andregradspolynomet i likningen. Løsninger i likningen finner vi som verdiene av $x$ der grafen skjærer $x$-aksen, det vil si der $y = 0$.

Figuren under viser tre ulike andregradspolynom.


2likn.PNG



Dersom grafen til andregradspolynomet krysser $x$-aksen, har likningen to løsninger. Likningen $g(x) = 0$ har to løsninger fordi $b^2-4ac>0$, og grafen til $g(x)$ skjærer $x$-aksen to steder.

Dersom grafen tangerer $x$-aksen har likningen en løsning. Likningen $f(x) = 0$ har en løsning fordi $b^2-4ac=0$. Grafen til $f(x)$ tangerer $x$-aksen i ett punkt, i $x= \frac{-b}{2a}$.

Dersom grafen til polynomet ikke krysser eller tangerer $x$-aksen, har likningen ingen løsning. Likningen $h(x) =0$ har ingen løsning fordi $b^2-4ac<0$. Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.



Bevis for ABC-formelen

For å bevise ABC-formelen bruker en første kvadratsetning, som vist i det følgende avsnittet.

$ \begin{aligned} ax^2 + bx + c &= 0 \\ \\ x^2 + \frac bax + \frac ca &= 0 \\ \\ x^2 + \frac bax &= - \frac ca \\ \\ x^2 + 2\frac {b}{2a}x &= - \frac ca \\ \\ x^2 + 2\frac {b}{2a}x + (\frac {b}{2a})^2 &= - \frac ca + (\frac {b}{2a})^2 \\ \\ (x +\frac {b}{2a})^2 &= - \frac ca + \frac {b^2}{4a^2} \\ \\ (x +\frac {b}{2a})^2 &= - \frac {4ac}{4a a} + \frac {b^2}{4a^2} \\ \\ (x +\frac {b}{2a})^2 &= \frac {-4ac+b^2}{4a^2} \\ \\ (x +\frac {b}{2a}) &= \pm \sqrt{\frac {b^2 -4ac}{4a^2}} \\ \\ x &= -\frac {b}{2a} \pm {\frac {\sqrt {b^2 -4ac}}{2a}} \\ \\ x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{aligned} $






Fullstendig kvadrat

Man kan bygge opp et fullstendig kvadrat ved å halvere, kvadrere, addere.....
For å kunne bruke teknikken må du kunne kvadratsetningene godt.


Det følgende eksempelet viser hvordan det gjøres:


Eksempel 8:


Løs likningen

$ \displaystyle 2x^2 - 3x +1 = 0 $

Vi omformer likningen:

$ \begin{aligned} x^2 - \frac 32 x + \frac 12 &=0 \\ \\ x^2 - \frac 32 x &= - \frac 12 \\ \\ x^2 - \frac 32 x &= - \frac 12 \\ \\ x^2 - \frac 32 x + ( \frac 34)^2 &= - \frac 12 + ( \frac 34)^2 \\ \\ (x - \frac 34)^2 &= \frac {1}{16} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} x - \frac 34 = \sqrt{ \frac {1}{16}}\qquad &\vee \qquad x - \frac 34 = -\sqrt{ \frac {1}{16}} \\ \\ x = 1\qquad &\vee \qquad x = \frac {1}{2} \end{aligned} $


Dersom du sliter med algebra bør du kanskje holde deg til ABC-formelen, men dersom du har oversikt og har ambisjoner om god karakter (5,6), er metoden med fullstendig kvadrat noe du bør beherske.



Andregradslikninger på produktform

Man kan ha andregradslikninger på formen:

$ \displaystyle (x + 1)(x – 2) = 0 $

Du ser at dette er en andregradslikning om du multipliserer ut parentesene:

$ \displaystyle (x + 1)(x – 2) = x^2 - 2x + x – 2 = x^2 – x – 2 $

Man kan multiplisere ut faktorene som vist over og bruke ABC–formelen, men det finnes en mye enklere måte å løse likningen på:

Dersom produktet av to faktorer skal bli null, må en av faktorene være null.

Likningen $mn = 0$ medfører at $m$ eller $n$ må være lik null, om likningen skal være oppfylt.


I eksemplet

$ \displaystyle (x + 1)(x – 2) = 0 $

betyr det at $x+1 = 0$ , eller at $x – 2 = 0$.

Det gir løsningene $x = -1$ og $x = 2$.

Problemet er redusert til løsninger av to enkle førstegradslikninger.



Faktorisering av andregradsuttrykk

Det generelle andregradsuttrykket er $ax^2 + bx + c.$ Ofte har man behov for å faktorisere uttrykket for å kunne forkorte og forenkle.

Man har følgende formel for faktorisering av andregradsuttrykk:

$ \displaystyle ax^2 + bx + c = a( x-x_1)(x-x_2) $

Der $x_1$ og $x_2$ er løsninger av $ax^2 + bx + c = 0.$



Eksempel 9:


Faktoriser polynomet

$ \displaystyle 6x^2-4x-2 $

Vi løser først likningen $6x^2-4x-2=0$ ved hjelp av ABC-formelen og får

$ \displaystyle x_1 = 1 \qquad \vee \qquad x_2 = - \frac13 $

Så bruker vi formelen over og får:

$ \displaystyle 6x^2-4x-2 = a(x-x_1)(x-x_2) = 6(x-1)(x + \frac 13) $

Denne fremgangsmåten er spesielt nyttig (helt nødvendig) når man skal forkorte brøker som inneholder andregradspolynomer.


Eksempel 9:


Skriv enklest mulig:

$ \displaystyle \frac{6x^2-4x-2}{x + \frac13} $

Vi faktoriserer og får:

$ \displaystyle \frac{6(x-1)(x + \frac 13)}{x + \frac13} = 6(x-1) $



Sum og produkt av røtter

Man har følgende sammenhenger mellom sum og produkt av røtter (løsninger):

En fullstendig andregradslikning skrives på formen

$ \displaystyle ax^2 + bx + c = 0 $

Dersom $x_1$ og $x_2$ er røtter (løsninger) i likningen, så er

$ \begin{aligned} x_1 + x_2 &= - \frac ba \\ \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac ca \end{aligned} $


Eksempel 10:


Vi ønsker å finne et andregradsuttrykk som har røttene $x = -2$ og $x = 1$. Utover det har vi ingen andre krav.



Vi får:

$ \begin{aligned} x_1 + x_2 &=- \frac ba \\ \\ -2 + 1 &= - \frac ba \\ \\ a &= b \end{aligned} $

Siden vi ikke har krav til koeffisientene kan vi jo velge $a = 1$. Da får vi at $a = 1$ og $b = 1$.


Produktet av røttene må oppfylle likningen

$ \begin{aligned} x_1 \cdot x_2 &= \frac ca \\ \\ -2 \cdot 1 &= \frac ca \\ \\ c &= -2 \end{aligned} $

Vi får da likningen

$ \displaystyle x^2 + x - 2 = 0 $

Ved å bruke ABC-formelen ser man at dette er en (av mange) likninger som har løsning for $x = 1$ og for $x = -2.$


Dersom man anvender disse formlene og finner en likning, må man sjekke at den virkelig har løsninger.


Tilbake til 1T Hovedside

Hovedside