Forskjell mellom versjoner av «Vektorprodukt»
m (Teksterstatting – «<tex>» til «<math>») |
m (Teksterstatting – «</tex>» til «</math>») |
||
Linje 5: | Linje 5: | ||
== Definisjon av vektorprodukt (kryssprodukt)== | == Definisjon av vektorprodukt (kryssprodukt)== | ||
− | Vi bruker notasjonen <math>\times</ | + | Vi bruker notasjonen <math>\times</math> for vektorprodukt. Lar vi <math>\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)</math> og <math>\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)</math> er |
− | :<math>\vec{v_1}\times \vec{v_2}=\left ( y_1z_2-y_2z_1,-(x_1z_2-x_2z_1),x_1y_2-x_2y_1 \right )</ | + | :<math>\vec{v_1}\times \vec{v_2}=\left ( y_1z_2-y_2z_1,-(x_1z_2-x_2z_1),x_1y_2-x_2y_1 \right )</math> |
Linje 14: | Linje 14: | ||
− | :<math> \vec{v_1}\times\vec{v_2} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\x_1 & y_1 & z_1 \\x_2 & y_2 & z_2 \end{array} \right |</ | + | :<math> \vec{v_1}\times\vec{v_2} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\x_1 & y_1 & z_1 \\x_2 & y_2 & z_2 \end{array} \right |</math> |
Utvikler vi i første rad ser vi at determinanten blir | Utvikler vi i første rad ser vi at determinanten blir | ||
− | :<math>\vec{v_1}\times\vec{v_2}= (y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k</ | + | :<math>\vec{v_1}\times\vec{v_2}= (y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k</math>. |
− | Her tolker vi <math>i,j,k</ | + | Her tolker vi <math>i,j,k</math> som enhetsvektorer langs x-,y- og z-aksen, og da ser vi at dette er i overensstemmelse med den første definisjonen. |
Linje 28: | Linje 28: | ||
− | :<math>\vec{v_2}\times \vec{v_1}=-\vec{v_1}\times \vec{v_2}</ | + | :<math>\vec{v_2}\times \vec{v_1}=-\vec{v_1}\times \vec{v_2}</math> |
== Geometrisk tolkning == | == Geometrisk tolkning == | ||
Linje 34: | Linje 34: | ||
[[Bilde:480px-Cross product parallelogram.svg.png|right|thumb|Geometrisk bilde av vektorproduktet]] | [[Bilde:480px-Cross product parallelogram.svg.png|right|thumb|Geometrisk bilde av vektorproduktet]] | ||
− | Vektorproduktet <math>\vec{v_1}\times \vec{v_2}</ | + | Vektorproduktet <math>\vec{v_1}\times \vec{v_2}</math> er en ny vektor, si <math>\vec{v_3}</math>, som står normalt (vinkelrett) på både <math>\vec{v_1}</math> og <math>\vec{v_2}</math> og har lengde <math>|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\sin(\theta)</math> der <math>\theta</math> er den minste vinkelen mellom vektorene. Retningen til <math>\vec{v_3}</math> følger høyrehåndsregelen, dvs. at dersom vi tilpasser et slags koordinatsystem slik at <math>\vec{v_1}</math> følger x-aksen i positiv retning og <math>\vec{v_2}</math> følger y-aksen i positiv retning, vil <math>\vec{v_3} </math> peke i positiv retning langs z-aksen. |
=== Absoluttverdien av vektorproduktet === | === Absoluttverdien av vektorproduktet === | ||
Linje 41: | Linje 41: | ||
− | :<math>|\vec{v_1}\times \vec{v_2}|</ | + | :<math>|\vec{v_1}\times \vec{v_2}|</math> |
Linje 47: | Linje 47: | ||
− | :<math>|\vec{v_1}\times \vec{v_2}|=|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\sin(\theta)</ | + | :<math>|\vec{v_1}\times \vec{v_2}|=|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\sin(\theta)</math> |
− | der <math>\theta</ | + | der <math>\theta</math> er (den minste) vinkelen mellom vektorene. Da ser vi geometrisk at dette er likt arealet av parallellogrammet. For spesialtilfellet <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> vil vektorene utspenne et rektangel, og da ser vi enkelt at arealtolkningen stemmer siden <math>\sin(\frac{\pi}{2})=1</math>. |
Linje 59: | Linje 59: | ||
− | Gitt vektorene <math>\vec{p}=(1,4,2)</ | + | Gitt vektorene <math>\vec{p}=(1,4,2)</math> og <math>\vec{q}=(9,7,1)</math> beregner vi vektorproduktet som følger: |
− | :<math> \vec{p}\times\vec{q}=(1,4,2)\times (9,7,1)=(4\cdot 1-7\cdot 2, -(1\cdot 1-9\cdot 2),1\cdot 7-9\cdot 4)=(-10,17,-29)</ | + | :<math> \vec{p}\times\vec{q}=(1,4,2)\times (9,7,1)=(4\cdot 1-7\cdot 2, -(1\cdot 1-9\cdot 2),1\cdot 7-9\cdot 4)=(-10,17,-29)</math> |
== Høyrehåndsregelen == | == Høyrehåndsregelen == | ||
− | Vi har vektoren <math>\vec{ v_1}</ | + | Vi har vektoren <math>\vec{ v_1}</math> og vektoren <math> \vec{v_2}</math>. Vektorproduktet av de to vektorene vil være en vektor <math>\vec{v_3}</math> som står vinkelrett på planet som inneholder vektoren <math>\tex{v_1}</math> og vektoren <math>\vec{v_2}</math>. |
− | Dersom du bruker høyre hånd og holder pekefingren parallell med <math>\vec{v_1}</ | + | Dersom du bruker høyre hånd og holder pekefingren parallell med <math>\vec{v_1}</math>, bøy langfingren slik at den er parallell med <math>\vec{v_2}</math> og la tommelfingren stå rett ut fra hånden. Tommelen peker nå i samme retning som <math>\vec{v_3}</math>. Regelen kalles høyrehåndsregelen. |
[[Bilde:Haand.gif]] | [[Bilde:Haand.gif]] | ||
Linje 77: | Linje 77: | ||
== Regneregler == | == Regneregler == | ||
− | Vektorproduktet skrives <math> \vec{v_1}\times \vec{v_2}</ | + | Vektorproduktet skrives <math> \vec{v_1}\times \vec{v_2}</math> og kalles derfor ofte for kryssproduktet. Operasjoner er ikke kommutativ eller assosiativ. Følgende regneregler gjelder: |
<math>\vec{v_1}\times \vec{v_1} = -( \vec{v_2} \times \vec{v_1}) \\ \\ | <math>\vec{v_1}\times \vec{v_1} = -( \vec{v_2} \times \vec{v_1}) \\ \\ | ||
(\vec{v_1} + \vec{v_2}) \times \vec{v_3} = (\vec{v_1} \times \vec{v_3}) + (\vec{v_2} \times \vec{v_3})\\ \\ | (\vec{v_1} + \vec{v_2}) \times \vec{v_3} = (\vec{v_1} \times \vec{v_3}) + (\vec{v_2} \times \vec{v_3})\\ \\ | ||
− | (k\vec{v_1}) \times \vec{v_2} = \vec{v_1} \times (k\vec{v_2})= k(\vec{v_1} \times \vec{v_2})</ | + | (k\vec{v_1}) \times \vec{v_2} = \vec{v_1} \times (k\vec{v_2})= k(\vec{v_1} \times \vec{v_2})</math> <p></p> |
Når man tar skalarproduktet av to vektorer blir resultatet en skalar, eller et tall. Når man tar vektorproduktet blir resultatet en ny vektor. Lengden av denne vektoren er gitt ved: | Når man tar skalarproduktet av to vektorer blir resultatet en skalar, eller et tall. Når man tar vektorproduktet blir resultatet en ny vektor. Lengden av denne vektoren er gitt ved: | ||
− | <math>|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = |\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|\cdot \sin \phi, \quad \phi \in [0^{\circ},180^{\circ}]</ | + | <math>|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = |\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|\cdot \sin \phi, \quad \phi \in [0^{\circ},180^{\circ}]</math>. |
== Bruksområder == | == Bruksområder == | ||
Linje 96: | Linje 96: | ||
=== Volumet av en trekantet pyramide === | === Volumet av en trekantet pyramide === | ||
− | bestemt av vektorene <math>\vec{v_1}</ | + | bestemt av vektorene <math>\vec{v_1}</math>, <math>\vec{v_2}</math> og <math>\vec{v_3}</math> er gitt ved |
− | <math>V= \frac 16 \cdot|(\vec{v_1}\times \vec{v_2})\cdot \vec{v_3}|</ | + | <math>V= \frac 16 \cdot|(\vec{v_1}\times \vec{v_2})\cdot \vec{v_3}|</math> |
=== Volumet av en firkantet pyramide === | === Volumet av en firkantet pyramide === | ||
− | bestemt av vektorene <math>\vec{v_1}</ | + | bestemt av vektorene <math>\vec{v_1}</math>, <math>\vec{v_2}</math> og <math>\vec{v_3}</math> er gitt ved |
− | <math>V= \frac 13 \cdot |(\vec{v_1} \times \vec{ v_2})\cdot \vec{v_3}|</ | + | <math>V= \frac 13 \cdot |(\vec{v_1} \times \vec{ v_2})\cdot \vec{v_3}|</math> |
=== Volumet av et parallellepiped === | === Volumet av et parallellepiped === | ||
− | bestemt av vektorene <math>\vec{v_1}</ | + | bestemt av vektorene <math>\vec{v_1}</math>, <math>\vec{v_2}</math> og <math>\vec{v_3}</math> er gitt ved |
− | <math>V = |(\vec{v_1}\times \vec {v_2})\cdot \vec{v_3}|</ | + | <math>V = |(\vec{v_1}\times \vec {v_2})\cdot \vec{v_3}|</math> |
=== Arealet at parallellogram === | === Arealet at parallellogram === | ||
− | utspent av vektorene <math>\vec{v_1}</ | + | utspent av vektorene <math>\vec{v_1}</math> og <math>\vec{v_2}</math> er gitt ved |
− | <math>A = |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| </ | + | <math>A = |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| </math> |
=== Arealet av en trekant === | === Arealet av en trekant === | ||
− | utspent av vektorene <math>\vec{v_1}</ | + | utspent av vektorene <math>\vec{v_1}</math> og <math>\vec{v_2}</math> er gitt ved |
− | <math>A = \frac 12\cdot|\vec{v_1} x \vec{v_2}| </ | + | <math>A = \frac 12\cdot|\vec{v_1} x \vec{v_2}| </math> |
---- | ---- | ||
[[kategori:lex]] | [[kategori:lex]] |
Revisjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:59
Vektorproduktet er en operasjon mellom to 3-dimensjonale vektorer som har nyttige anvendelser i blant annet areal- og volumberegninger og når vi skal finne normalvektorer til flater og plan i rommet. Merk at vektorproduktet slik det er definert ikke gir mening for annet enn 3- og 7-dimensjonale vektorer, der vi kun har fokus på det 3-dimensjonale tilfellet.
Definisjon av vektorprodukt (kryssprodukt)
Vi bruker notasjonen <math>\times</math> for vektorprodukt. Lar vi <math>\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)</math> og <math>\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)</math> er
- <math>\vec{v_1}\times \vec{v_2}=\left ( y_1z_2-y_2z_1,-(x_1z_2-x_2z_1),x_1y_2-x_2y_1 \right )</math>
Definisjonen kan også skrives som en determinant som gjør den lettere å huske,
- <math> \vec{v_1}\times\vec{v_2} = \left| \begin{array}{ccc}i & j & k \\x_1 & y_1 & z_1 \\x_2 & y_2 & z_2 \end{array} \right |</math>
Utvikler vi i første rad ser vi at determinanten blir
- <math>\vec{v_1}\times\vec{v_2}= (y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k</math>.
Her tolker vi <math>i,j,k</math> som enhetsvektorer langs x-,y- og z-aksen, og da ser vi at dette er i overensstemmelse med den første definisjonen.
Merk at kryssproduktet ikke er kommutativt. Bruker vi definisjonen ser vi at
- <math>\vec{v_2}\times \vec{v_1}=-\vec{v_1}\times \vec{v_2}</math>
Geometrisk tolkning
Vektorproduktet <math>\vec{v_1}\times \vec{v_2}</math> er en ny vektor, si <math>\vec{v_3}</math>, som står normalt (vinkelrett) på både <math>\vec{v_1}</math> og <math>\vec{v_2}</math> og har lengde <math>|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\sin(\theta)</math> der <math>\theta</math> er den minste vinkelen mellom vektorene. Retningen til <math>\vec{v_3}</math> følger høyrehåndsregelen, dvs. at dersom vi tilpasser et slags koordinatsystem slik at <math>\vec{v_1}</math> følger x-aksen i positiv retning og <math>\vec{v_2}</math> følger y-aksen i positiv retning, vil <math>\vec{v_3} </math> peke i positiv retning langs z-aksen.
Absoluttverdien av vektorproduktet
Absoluttverdien
- <math>|\vec{v_1}\times \vec{v_2}|</math>
er arealet til parallellogrammet utspent av vektorene. Bruker vi definisjonen kan vi vise at
- <math>|\vec{v_1}\times \vec{v_2}|=|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\sin(\theta)</math>
der <math>\theta</math> er (den minste) vinkelen mellom vektorene. Da ser vi geometrisk at dette er likt arealet av parallellogrammet. For spesialtilfellet <math>\theta=\frac{\pi}{2}</math> vil vektorene utspenne et rektangel, og da ser vi enkelt at arealtolkningen stemmer siden <math>\sin(\frac{\pi}{2})=1</math>.
Eksempler
Beregning av vektorprodukt
Gitt vektorene <math>\vec{p}=(1,4,2)</math> og <math>\vec{q}=(9,7,1)</math> beregner vi vektorproduktet som følger:
- <math> \vec{p}\times\vec{q}=(1,4,2)\times (9,7,1)=(4\cdot 1-7\cdot 2, -(1\cdot 1-9\cdot 2),1\cdot 7-9\cdot 4)=(-10,17,-29)</math>
Høyrehåndsregelen
Vi har vektoren <math>\vec{ v_1}</math> og vektoren <math> \vec{v_2}</math>. Vektorproduktet av de to vektorene vil være en vektor <math>\vec{v_3}</math> som står vinkelrett på planet som inneholder vektoren <math>\tex{v_1}</math> og vektoren <math>\vec{v_2}</math>.
Dersom du bruker høyre hånd og holder pekefingren parallell med <math>\vec{v_1}</math>, bøy langfingren slik at den er parallell med <math>\vec{v_2}</math> og la tommelfingren stå rett ut fra hånden. Tommelen peker nå i samme retning som <math>\vec{v_3}</math>. Regelen kalles høyrehåndsregelen.
Regneregler
Vektorproduktet skrives <math> \vec{v_1}\times \vec{v_2}</math> og kalles derfor ofte for kryssproduktet. Operasjoner er ikke kommutativ eller assosiativ. Følgende regneregler gjelder:
<math>\vec{v_1}\times \vec{v_1} = -( \vec{v_2} \times \vec{v_1}) \\ \\
(\vec{v_1} + \vec{v_2}) \times \vec{v_3} = (\vec{v_1} \times \vec{v_3}) + (\vec{v_2} \times \vec{v_3})\\ \\
(k\vec{v_1}) \times \vec{v_2} = \vec{v_1} \times (k\vec{v_2})= k(\vec{v_1} \times \vec{v_2})</math>
Når man tar skalarproduktet av to vektorer blir resultatet en skalar, eller et tall. Når man tar vektorproduktet blir resultatet en ny vektor. Lengden av denne vektoren er gitt ved:
<math>|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = |\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|\cdot \sin \phi, \quad \phi \in [0^{\circ},180^{\circ}]</math>.
Bruksområder
Vektorproduktet brukes til å beskrive fenomener i fysikken og det kan også brukes til å regne ut arealer og volumer, samt til å bestemme et plans normalvektor. Eksempelvis har vi at:
Volumet av en trekantet pyramide
bestemt av vektorene <math>\vec{v_1}</math>, <math>\vec{v_2}</math> og <math>\vec{v_3}</math> er gitt ved <math>V= \frac 16 \cdot|(\vec{v_1}\times \vec{v_2})\cdot \vec{v_3}|</math>
Volumet av en firkantet pyramide
bestemt av vektorene <math>\vec{v_1}</math>, <math>\vec{v_2}</math> og <math>\vec{v_3}</math> er gitt ved <math>V= \frac 13 \cdot |(\vec{v_1} \times \vec{ v_2})\cdot \vec{v_3}|</math>
Volumet av et parallellepiped
bestemt av vektorene <math>\vec{v_1}</math>, <math>\vec{v_2}</math> og <math>\vec{v_3}</math> er gitt ved <math>V = |(\vec{v_1}\times \vec {v_2})\cdot \vec{v_3}|</math>
Arealet at parallellogram
utspent av vektorene <math>\vec{v_1}</math> og <math>\vec{v_2}</math> er gitt ved <math>A = |\vec{v_1} \times \vec{v_2}| </math>
Arealet av en trekant
utspent av vektorene <math>\vec{v_1}</math> og <math>\vec{v_2}</math> er gitt ved <math>A = \frac 12\cdot|\vec{v_1} x \vec{v_2}| </math>