Vektorer i rommet

En vektor er det samme som et koordinat, vi tenker oss en pil fra origo til et punkt med koordinat (x,y) i det euklidske planet eller (x,y,z) i rommet <math>\mathbb{R^3}</math>. Det fins en rekke måter å skrive vektorer på, f.eks. er det vanlig å bruke <math>\vec{r}=(x,y,z)</math>, <math>\vec{r}=\langle x,y,z\rangle</math> eller <math>\vec{r}=[x,y,z]</math>. Vi kan også innføre enhetsvektorer langs de tre aksene og skrive vektorene ved hjelp av disse. Da er <math>\vec{r}=x\vec{e_{x}}+y\vec{e_{y}}+z\vec{e_{z}}</math> der <math>\vec{e_i}</math> er enhetsvektor langs aksen <math>i\in [x,y,z]</math>. Her holder vi oss for enkelhets skyld til den første konvensjonen. Strengt tatt burde vi skrevet <math>\vec{r}=(x,y,z)_{\mathcal{B}}</math>, der <math>\mathcal{B}</math> angir hvilken basis vi uttrykker vektoren i, men her mener vi alltid standardbasisen, altså <math>\mathcal{B}= \left {(1,0,0)\,,(0,1,0)\,,(0,0,1) \right}</math>

En vektor i rommet er en generalisering av en vektor i planet der vi har innført én ny koordinat. Mye av teorien for vektorer i planet vil utvides på naturlig måte til vektorer i rommet. F.eks. er definisjonen av lengde, sum, skalarmultiplikasjon og skalarprodukt (prikkprodukt) av 3-dimensjonale vektorer analog med det 2-dimensjonale tilfellet:

Lengden av en vektor i rommet

Lengden av en 3-dimensjonal vektor er angitt med absoluttverditegn. Dersom <math>\vec{v}=(x,y,z)</math> er lengden definert som

<math>|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</math>

Vektorsum

Addisjon av vektorer foregår på samme måte som i planet, dvs. komponentvis. Vi har at

<math>\vec{v}+\vec{v^\prime}=(x,y,z)+(x^\prime,y^\prime,z^\prime)=(x+x^\prime,y+y^\prime,z+z^\prime)</math>

Multiplikasjon med skalar

Vi kan multiplisere en vektor med en skalar på samme måte som i planet:

<math>k(x,y,z)=(kx,ky,kz)</math> der <math>k</math> er en skalar.

Da ser vi at

<math>|k\vec{v}|=|(kx,ky,kz)|=\sqrt{(kx)^2+(ky)^2+(kz)^2}=\sqrt{k^2(x^2+y^2+z^2)}=|k|\sqrt{x^2+y^2+z^2}=|k||\vec{v}|</math>

Denne formelen kan anvendes for å forenkle utregninger gjennom å faktorisere ut felles faktorer i vektoren vi skal finne lengden av.

Skalarprodukt

La <math>\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)</math> og <math>\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)</math>. Da er skalarproduktet definert som

<math>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2</math>

Dette er ekvivalent med

<math>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\cdot \cos(\theta)</math> der <math>\theta</math> er vinkelen mellom vektorene.

Merk at definisjonen medfører at skalarproduktet er kommutativt, dvs. at <math>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=\vec{v_2}\cdot \vec{v_1}</math>

En viktig observasjon er at dersom vi tar skalarproduktet med vektoren selv, får vi

<math>\vec{v}\cdot \vec{v}=x^2+y^2+z^2=|\vec{v}|^2</math>.

Her ser vi at dette stemmer overens med den andre definisjonen av skalarproduktet i og med at vinkelen mellom to like vektorer er <math>\theta=0</math>, og da er <math>\cos(\theta)=\cos(0)=1</math>.

Normalisering

Vi normaliserer en vektor ved å dele den med lengden av seg selv. Lar vi f.eks. <math>\vec{v}=(x,y,z)</math> og deler med lengden får vi

<math>\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}(x,y,z)</math>.

Vi ser da at <math>|\frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}|=1</math>.

Enhetsvektorer

En enhetsvektor i rommet er essensielt et koordinat på enhetssfæren (dvs. overflaten av ei kule med radius=1 og sentrum i origo).

Dekomposisjon av romlige vektorer

Vi kan finne komponenten av en vektor i en gitt retning ved å ta skalarproduktet av vektoren og enhetsvektoren langs den ønskelige retningen.

Trekantulikheten

Trekantulikheten sier at for vektorer <math>\vec{u}</math> og <math>\vec{v}</math> gjelder alltid

<math>|\vec{u}+\vec{v}|\leq |\vec{u}|+\vec{v}|</math>

Denne er ofte nyttig til å vise mer kompliserte ulikheter. Likhet oppnås dersom enten en av vektorene er 0-vektor eller dersom vektorene har samme retning. Det kan være lurt å tegne opp noen vektorer for å illustrere prinsippet. Da ser man geometrisk at ulikheten faktisk stemmer.

Vektorrom (avansert, noe utover R2 pensum)

I en mer generell kontekst er de euklidske vektorene et spesialtilfelle av et vektorrom over en kropp (en kropp er f.eks. <math>\mathbb{R}</math> eller <math>\mathbb{C}</math>). Et vektorrom <math>\mathcal{V}</math> over <math>\mathcal{F}</math> er en mengde av elementer (vektorer) som tilfredsstiller et sett aksiomer. For alle <math>r,s \in \mathcal{F}</math> og alle <math>u</math>, <math>v</math> og <math>w</math> i <math>\mathcal{V}</math> gjelder:

1. Det fins en additiv identitet, <math>0</math>: <math>u+0=u</math>

2. Det fins en multiplikativ identitet, <math>1</math>: <math>1u=u</math>

3. Vektorrommet er lukket under skalarmultiplikasjon, i.e. <math>ru</math> er med i <math>\mathcal{V}</math> og <math>r(su)=(rs)u</math>.

4. Vektorrommet er lukket under addisjon, i.e. <math>u+v</math> er med i <math>\mathcal{V}</math>

5. Vektorrommet assosiativt, i.e. <math>(u+v)+w=u+(v+w)</math>

6. Vektorrommet er distributivt, i.e. <math>r(u+v)=ru+rv</math>

7. <math>(r+s)u=ru+su</math>

8. Vektorrommet er kommutativt, i.e. <math>u+v=v+u</math>

9. For alle <math>u</math> fins en <math>w</math> slik at <math>u+w=0</math>

---

Tilbake til R2 Hovedside