Vektorer i rommet

En vektor er det samme som et koordinat, vi tenker oss en pil fra origo til et punkt med koordinat (x,y) i det euklidske planet eller (x,y,z) i rommet <tex>\mathbb{R^3}</tex>. Det fins en rekke måter å skrive vektorer på, f.eks. er det vanlig å bruke <tex>\vec{r}=(x,y,z)</tex>, <tex>\vec{r}=\langle x,y,z\rangle</tex> eller <tex>\vec{r}=[x,y,z]</tex>. Vi kan også innføre enhetsvektorer langs de tre aksene og skrive vektorene ved hjelp av disse. Da er <tex>\vec{r}=x\vec{e_{x}}+y\vec{e_{y}}+z\vec{e_{z}}</tex> der <tex>\vec{e_i}</tex> er enhetsvektor langs aksen <tex>i\in [x,y,z]</tex>. Her holder vi oss for enkelhets skyld til den første konvensjonen. Strengt tatt burde vi skrevet <tex>\vec{r}=(x,y,z)_{\mathcal{B}}</tex>, der <tex>\mathcal{B}</tex> angir hvilken basis vi uttrykker vektoren i, men her mener vi alltid standardbasisen, altså <tex>\mathcal{B}= \left {(1,0,0)\,,(0,1,0)\,,(0,0,1) \right}</tex>

En vektor i rommet er en generalisering av en vektor i planet der vi har innført én ny koordinat. Mye av teorien for vektorer i planet vil utvides på naturlig måte til vektorer i rommet. F.eks. er definisjonen av sum, skalarmultiplikasjon og skalarprodukt (prikkprodukt) av 3-dimensjonale vektorer analog med det 2-dimensjonale tilfellet:

Lengden av en vektor i rommet

Lengden av en 3-dimensjonal vektor er angitt med absoluttverditegn. Dersom <tex>\vec{v}=(x,y,z)</tex> er lengden definert som

<tex>|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}</tex>

Vektorsum

Addisjon av vektorer foregår på samme måte som i planet, dvs. komponentvis. Vi har at

<tex>\vec{v}+\vec{v^\prime}=(x,y,z)+(x^\prime,y^\prime,z^\prime)=(x+x^\prime,y+y^\prime,z+z^\prime)</tex>

Multiplikasjon med skalar

<tex>k(x,y,z)=(kx,ky,kz)</tex> der <tex>k</tex> er en skalar.

Skalarprodukt

La <tex>\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)</tex> og <tex>\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)</tex>. Da er skalarproduktet definert som

<tex>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2</tex>

Dette er ekvivalent med

<tex>\vec{v_1}\cdot \vec{v_2}=|\vec{v_1}||\vec{v_2}|\cdot \sin(\theta)</tex> der <tex>\theta</tex> er vinkelen mellom vektorene.

En viktig observasjon er at dersom vi tar skalarproduktet med vektoren selv, får vi

<tex>\vec{v}\cdot \vec{v}=x^2+y^2+z^2=|\vec{v}|^2</tex>.

Her ser vi at dette stemmer overens med den andre definisjonen av skalarproduktet i og med at vinkelen mellom to like vektorer er <tex>\theta=0</tex>, og da er <tex>\sin(\theta)=\sin(0)=1</tex>.