Trigonometriske identiteter
Nedenfor følger en rekke trigonometriske identiteter. Noen er pensum i norsk skole (R2), andre ikke. Vi mener det er riktig å vise alle, da noen av dere kan komme til å studere i land der disse er pensum. Ha oss tilgitt, ikke alt er like lett å vise grafisk, men vi prøver så godt vi kan.
Definisjoner:
Det finnes mange trigonometriske identiteter. Her er noen av dem.
$sin^2v + cos^2v = 1$
Relasjonen fremkommer ved å anvende Pytagoras direkte i enhetssirkelen.
$ \quad \quad tan^2v + 1 = sec^2v\quad \quad cot^2v+1 = csc^2v$
| Uttrykt ved | <math> \sin v\!</math> | <math> \cos v\!</math> | <math> \tan v!</math> | <math> \csc v\!</math> | <math> \sec v\!</math> | <math> \cot v\!</math> |
|---|---|---|---|---|---|---|
| <math> \sin v =\!</math> | <math> \sin v\ </math> | <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 v}\! </math> | <math>\pm\frac{\tan v}{\sqrt{1 + \tan^2 v}}\! </math> | <math> \frac{1}{\csc v}\! </math> | <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 v - 1}}{\sec v}\! </math> | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 v}}\! </math> |
| <math> \cos v =\!</math> | <math>\pm\sqrt{1 - \sin^2 v}\! </math> | <math> \cos v\! </math> | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 v}}\! </math> | <math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 v - 1}}{\csc v}\! </math> | <math> \frac{1}{\sec v}\! </math> | <math>\pm\frac{\cot v}{\sqrt{1 + \cot^2 v}}\! </math> |
| <math> \tan v =\!</math> | <math>\pm\frac{\sin v}{\sqrt{1 - \sin^2 v}}\! </math> | <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 v}}{\cos v}\! </math> | <math> \tan v\! </math> | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 v - 1}}\! </math> | <math>\pm\sqrt{\sec^2 v - 1}\! </math> | <math> \frac{1}{\cot v}\! </math> |
| <math> \csc v =\!</math> | <math> \frac{1}{\sin v}\! </math> | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 v}}\! </math> | <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 v}}{\tan v}\! </math> | <math> \csc v\! </math> | <math>\pm\frac{\sec v}{\sqrt{\sec^2 v - 1}}\! </math> | <math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 v}\! </math> |
| <math> \sec v =\!</math> | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 v}}\! </math> |
<math> \frac{1}{\cos v}\! </math> | <math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 v}\! </math> | <math>\pm\frac{\csc v}{\sqrt{\csc^2 v - 1}}\! </math> | <math> \sec v\! </math> | <math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 v}}{\cot v}\! </math> |
| <math> \cot v =\!</math> | <math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 v}}{\sin v}\! </math> | <math>\pm\frac{\cos v}{\sqrt{1 - \cos^2 v}}\! </math> | <math> \frac{1}{\tan v}\! </math> | <math>\pm\sqrt{\csc^2 v - 1}\! </math> | <math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 v - 1}}\! </math> | <math> \cot v\! </math> |
$cos(u-v) = cos(u)\cdot cos(v)+sin(u) \cdot sin(v) \quad \quad cos(u + v) = cos(u)\cdot cos(v)-sin(u)\cdot sin(v) \\ sin(u - v) = sin(u)\cdot cos(v)-cos(u)\cdot sin(v) \quad \quad sin(u + v) = sin(u)\cdot cos(v)+cos(u)\cdot sin(v)$
<math>sin(2u) = 2sin(u) \cdot cos(u) </math>
<math>cos(2u) = cos^2 (u) - sin^2 (u) </math>
<math>1 + cos(2u) = 2 cos^2 (u)</math>
<math>1 - cos(2u) = 2 sin^2 (u)</math>
Dersom u + v = 180° har vi at Sin v = sin u og cos v = -cos u
