Trigonometriske funksjoner

De trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans og cosecans. De tre første er de vanligste. Vanligvis forkortes disse sin, cos, tan, cot, sec og cosec. For spisse vinkler defineres de trigonometriske funksjonene som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. Vi har:

• sin B = b / a = motstående katet / hypotenusen

• cos B = c / a = hosliggende katet / hypotenusen

• tan B = b / c = motstående katet / hosliggende katet = sin B / cos B

• cot B =c / b = hosliggende katet / motstående katet = cos B / sin B

• sec B = a / c = hypotenusen / hosliggende katet = 1 / cos B

• cosec B = a / b = hypotenusen / motstående katet = 1 / sin B

De trigonometriske funksjonene begrenser seg ikke til spisse vinkler. Vi tegner en sirkel med radius 1 der positive vinkler kan tenkes framkommet ved en dreining mot klokken og negative vinkler fremkommer ved dreining med klokken. dette kalles orienterte vinkler. I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer). Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger:

<tex> sin a = y \quad \quad cos a = x \quad \quad tan a = \frac yx \\ \\ cot a = \frac xy \quad \quad sec a = \frac 1x \quad \quad cosec a = \frac 1y </tex> sin α = y

cos α = x

tan α = y/x

cot α = x/y

sec α = 1/x

cosec α = 1/y

Sin, cos, sec og csc har alle perioden 2pi. Tan og cot har perioden pi.

Enhetssirkelen og dens fire kvadranter

Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt.

Kvadrant	I	II	III	IV
cos	pos	neg	neg	pos
sin	pos	pos	neg	neg
tan	pos	neg	pos	neg
cot	pos	neg	pos	neg
sec	pos	neg	neg	pos
cosec	pos	pos	neg	neg

Geometrisk tolkning av de trigonometriske funksjonene. Figuren nedenfor viser de forskjellige trigonometriske funksjonene inntegnet i enhetssirkelen.

Dersom vi tenker oss at punktet (x,y) har forskjellige verdier på hele sirkelperiferien og vi plotter verdiene til de trigonometriske funksjonene i et koordinatsystem, kan det se slik ut. Fargene er kun lagt på for om mulig å øke lesbarheten.

---