Trigonometri II

Absolutt vinkelmål

Radianer (også kalt absolutt vinkelmål) er definert som følger. Ta utgangspunkt i figuren:

Vi konstruerer en sirkelbue med lengde <math>s</math> og radius <math>r</math>, som vist på figuren. Buen er avgrenset av de to radiene som går fra sentrum av buen. Vinkelen mellom de to radiene i radianer er da definert som

$$\alpha=\frac{s}{r}$$

Det følger at forholdet mellom radianer og grader er gitt ved

eller ekvivalent ved

<math>v[^\circ]=\frac{180^\circ}{\pi}v[\text{rad}]</math> for en vinkel <math>v</math>

Trigonometeriske funksjoner

De tre sentrale trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus og tangens, som er et produkt av sinus og cosinus. Sinus er den viktigste trigonometriske funksjonen, siden alle de andre trigonometriske funksjonene kan utledes fra denne.

Enhetssirkelen

Enhetssirkelen har sentrum i origo og radius en.

Definisjon av sin x og cos x

Ta utgangspunkt i figuren under:

Når vi konstruerer en enhetssirkel og en radius med vinkel <math>\alpha</math> på x-aksen slik figuren viser, vil radien skjære sirkelperiferien i punktet <math>P</math>. Hvis trekker normalene fra <math>P</math> på koordinataksene, vil de skjære disse i punktene <math>A</math> og <math>B</math> slik figuren viser. Da vil y-verdien til punktet <math>A</math> være lik <math>\sin\,\alpha</math> og x-verdien til punktet <math>B</math> være lik <math>\cos\,\alpha</math>

Når vi plotter sinus- og cosinuskurvene ser de slik ut:

Sinus- og cosinuskurvene har begge perioder på <math>2\pi</math> radianer.

Merk at cosinusfunksjonen kun er sinusfunkjsonen forskjøvet <math>\frac{\pi}{2}</math> radianer i minusretningen. Altså gjelder det at <math>sin(x+\frac{\pi}{2})=\cos\,x</math>

Definisjon av tan(x)

Tangensfunksjonen er definert slik at

Når vi plotter tangenskurven, ser den slik ut:

Tangenskurven har en periode på <math>\pi</math> radianer.

Fortegn av trigonometriske funksjoner

Dette diagrammet viser fortegnene til de forskjellige trigonometriske funksjonene for forskjellige vinkler. Den sorte streken gjennom tangensdiagrammet viser vinklene der <math>\tan\,x</math> går mot <math>\pm\infty</math>. Vi får et bruddpunkt, og det er derfor meningsløst å snakke of fortegnet til <math>\tan\,x</math> når <math>x=\frac{\pi}{2}</math> eller <math>x=\frac{3\pi}{2}</math>.

Hvis du kan disse diagrammene utanat, vil du kunne vurdere hvilke løsninger du forventer til trigonometriske ligninger. Det vil bli lettere å vurdere om løsningene stemmer.

Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x på tabellform

Verdiene i tabellen under bør du memorisere. Å kunne disse utenat vil være til stor hjelp i løsingen av trigonometriske ligninger.

Noen viktige verdier av sin x, cos x og tan x i enhetssirkelen (1. kvadrant)

Viktige trigonometriske identiteter

Ettersom alle de trigonometriske funksjonene er periodiske, vil de samme verdiene gå igjen for hver syklus. Generellt gjelder det at

Å være klar over disse sammenhengene vil ha betydning når vi senere vurderer løsninger av trigonometriske ligninger.

Ut ifra figuren om definisjonen av sinus og cosinus kan vi se flere egenskaper ved funksjonene. Spesifikt,

De trigonometriske funksjonene har mange viktige relasjoner med hverandre. Noe som gjelder per definisjon for sinus og cosinus er identiteten

som lett kan vises geometrisk med Pythagorassetningen, se figuren om definisjonen av sinus og cosinus.Denne identiteten er viktig fordi den lar oss omforme sinus til cosinus og omvendt.

Som vi senere skal se, henger også tangens sammen med cosinus på følgende måte:

Denne identiteten beviser vi lenger nede i artikkelen.

Inverse trigonometriske funksjoner

Vi definerer de inverse trigonometriske funksjonene <math>\arcsin</math>, <math>\arccos</math> og <math>\arctan</math> slik at

<math>\arcsin(\sin\,x)=x\,,\,x\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>

<math>\arccos(\cos\,x)=x\,,\,x\in [0,\pi]</math>

<math>\arctan(\tan\,x)=x\,,\,x\in <-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} ></math>

Dersom <math>x</math> ikke befinner seg i disse mengdene, vil du likevel få en verdi innenfor disse mengdene. Ha dette i bakhodet når du løser trigonometriske ligninger på kalkulator.

I mange lærebøker i den videregående skole, og på kalkulatoren er notasjonen slik:

<math>arcsinx = sin^{-1}x\,,\ arccos x = cos^{-1} x \,,\ arctan x = tan^{-1} x</math>

Sumformelen for sin x og cos x

Hvis vi vet verdien av sinus og cosinus til to forskjellige vinkler, kan vi finne sinus og cosinus til summen av vinklene. Vi vet at

og

Også disse identitetene kan bevises geometrisk.

Spesialtilfellet <math>u=v</math> er verdt å merke seg, siden disse av og til dukker opp i ligninger:

Trigonometriske ligninger

Trigonometriske ligninger er ligninger der trigonometriske funksjoner av variabler inngår. Disse er nyttige i mange abstrakte og fysiske situasjoner.

I denne seksjonen presenteres løsningsmetoder for de forskjellige typene trigonometriske ligninger.

Løsninger og definisjonsmengde

I mange trigonometriske ligninger er definisjonsmengden til variabelen gitt på forhånd. Definisjonsmengden har innflytelse ikke bare på hva løsningene er, men også hvor mange løsninger som finnes. Dersom det ikke er gitt noen definisjonsmengde kan variabelen ha enhver reell verdi. For å få med alle løsninger bruker vi et lite triks, som vi viser nedenfor.

Når definisjonsmengden er gitt, bør du først se om du kan forhåndsbestemme hvor mange løsninger du forventer å få. Gitt at ligningen er løselig er det akseptabelt å forvente to løsninger per <math>2\pi</math>-syklus av de trigonometriske funksjonene. Her er et eksempel:

Eksempel

Bildet viser en plott av funksjonen <math>f(x)=3\sin(2x)+2\cos(2x)+1</math>. Nullpunktene til funksjonen, markert med grå prikker, viser løsningene til ligningen <math>3\sin(2x)+2\cos(2x)=-1</math>. Hvis definisjonsmengden er <math>x\in [0,\pi></math>, går funksjonene gjennom én <math>2\pi</math>-syklus, og vi får 2 løsninger. Hvis definisjonsmengden er <math>x\in [0,2\pi></math>, går funksjonene gjennom to <math>2\pi</math>-sykluser, og nå får vi 4 løsninger.

OBS!

Regelen om 2 løsninger per syklus gjelder bare hvis vi kan uttrykke ligningen ved én enkelt trigonometrisk funksjon, og denne ikke har sin største eller minste verdi. Som vi skal se senere kan funksjonen over beskrives på formen <math>f(x)=A\sin(x+\phi)+d</math>.

Derivasjon av trigonometriske funksjoner

I denne seksjonen finner du beviser for formlene for derivasjon av de trigonometriske funksjonene.

Derivasjon av sin x

<math>\frac{d}{dx}\sin\,x=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin\,x}{\Delta x}</math>

Vi bruker sumformelen for sinus og ekspanderer den venstre sinusfunksjonen.

<math>\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sin\,x\,\cos\,\Delta x + \cos\,x\,\sin\,\Delta x-\sin\,x}{\Delta x}</math>

Vi faktoriserer:

<math>\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sin\,x\,\left(\cos\,\Delta x-1\right) + \cos\,x\,\sin\,\Delta x}{\Delta x}</math>

Vi har nå en sum av to genseverdier:

<math>\lim_{\Delta x\to0}\sin\,x\frac{\cos\,\Delta x-1}{\Delta x} + \cos\,x\frac{\sin\,\Delta x}{\Delta x}</math>

Det kan bevises geometrisk at

<math>\lim_{\Delta x\to0}\frac{\cos\,\Delta x-1}{\Delta x}=0</math>

og at

<math>\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sin\,\Delta x}{\Delta x}=1</math>

Resultatet blir da at

Derivasjon av cos x

<math>\frac{d}{dx}\cos\,x=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos\,x}{\Delta x}</math>

Vi bruker sumformelen og ekspanderer den venstre cosinusfunksjonen.

<math>\lim_{\Delta x\to0}\frac{\cos\,x\,\cos\,\Delta x-\sin\,x\,\sin\,\Delta x-\cos\,x}{\Delta x}</math>

Vi faktoriserer.

<math>\lim_{\Delta x\to0}\frac{\cos\,x\,\left(\cos\,\Delta x-1\right)-\sin\,x\,\sin\,\Delta x}{\Delta x}</math>

Vi har nå en sum av to grenseverdier:

<math>\lim_{\Delta x\to0}\cos\,x\frac{\cos\,\Delta x-1}{\Delta x}-\sin\,x\frac{\sin\,\Delta x}{\Delta x}</math>

Disse grenseverdiene er de samme som vi støtte på i beviset av derivasjonen av sinusfunksjonen. Dermed blir resultatet at

Derivasjon av tan x

Nå som vi har derivasjonsformlene for sinus og cosinusfunksjonene, kan vi derivere tangensfunksjonen. Til det bruker vi definisjonen av tangens og skriver den som en brøk av sinus og cosinus og bruker brøkregelen.

<math>\frac{d}{dx}\tan\,x=\frac{d}{dx}\frac{\sin\,x}{\cos\,x}=\frac{\left(\frac{d}{dx}\sin\,x\right)\cos\,x-\left(\frac{d}{dx}\cos\,x\right)\sin\,x}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}</math>

Vi nevnte i seksjonen om trigonometriske identiteter at vi skulle bevise identiteten om tangens og cosinus. Det gjør vi nå. Det er to måter å forenkle brøken over på. Den ene er å trekke sammen sinus og cosinus med <math>\sin^2x+\cos^2x=1</math>. Den andre er å separere brøken.

Ettersom disse uttrykkene åpenbart må være like, har vi bevist identiteten.

Resultatet av derivasjonen er

og

Spisse vinkler

De trigonometriske funksjonene er sinus, cosinus, tangens. Vanligvis forkortes disse sin, cos, tan. For spisse vinkler defineres de trigonometriske funksjonene som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. Vi har:

DEFINISJONER

• <math>sin B = \frac ba </math>

• <math>cos B = \frac ca </math>

• <math>tan B = \frac bc = \frac{sin B}{ cos B}</math>

Enhetssirkelen - sin - cos - tan

De trigonometriske funksjonene begrenser seg ikke til spisse vinkler.

Vi tegner en sirkel med radius 1.
Positive vinkler kan tenkes framkommet ved en dreining mot klokken og negative vinkler fremkommer ved dreining med klokken.
Dette kalles orienterte vinkler.
I enhetssirkelen ser vi på orienterte vinkler med absolutte vinkelmål (radianer).
Dersom en vinkel har høyre vinkelbein sammenfallende med positiv del av x aksen og toppunkt i origo sies vinkelen å være i grunnstilling.

Enhetsirkelen legges med sentrum i origo i et ortonormert koordinatsystem, slik at et av vinkelbeina er sammenfallende med den positive x aksen. Det andre vinkelbeinet skjærer sirkelen i punktet (x,y). De trigonometriske funksjonene defineres som følger:

$sin (a) = y \quad \quad cos (a) = x \quad \quad tan (a) = \frac yx $

Sin og cos har begge perioden $2\pi$. Tan har perioden $\pi$.

Enhetssirkelen og dens fire kvadranter:

Sinusverdien leses på y aksen (blå) og cosinus på x - aksen grønn.

En geometrosk tolkning av tangens ser du i den røde søylen. Dersom vinkelen ligger i 1. eller 4. kvadrant er lengden av linjestykket fra (1,0) langs linjen normalt på x -aksen, til skjæring med det andre vinkelbeinet. Tillsvarende i ( -1,0) for vinkler i 2. og 3. kvadrant.

Figuren over viser fortegn på sin (x), cos( x) og tan (x) i de fire kvadrantene.

Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til cosinus:

$v= -u \\ cos (v)= cos(-v) \\ cos (v) = cos (2 \pi - v) \\ cos v = - cos ( \pi - v)$

$cos (\alpha) = sin(\frac{\pi}{2}- \alpha) \\ sin (\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$

Fra enhetssirkelen ser man blant annet følgende om egenskapene til sinus:

$sin( \alpha) = - sin( - \alpha) \\ sin (\alpha) = sin (\pi- \alpha) \\ sin(\alpha) = sin(\alpha +2 \pi) \\ sin( \pi + \alpha)= sin (2\pi -\alpha)$

Identiteter

$sin^2v + cos^2v = 1\quad \quad \color{red}{(1)}$

BEVIS (1):

Relasjonen fremkommer ved å anvende Pytagoras direkte i enhetssirkelen.

Sum og differanser av vinkler

$cos(u-v) = cos(u)\cdot cos(v)+sin(u) \cdot sin(v) \quad \quad \color{red}{(2)} \quad \quad cos(u + v) = cos(u)\cdot cos(v)-sin(u)\cdot sin(v) \quad \quad \color{red}{(3)}\\ sin(u - v) = sin(u)\cdot cos(v)-cos(u)\cdot sin(v) \quad \quad \color{red}{(4)}\quad \quad sin(u + v) = sin(u)\cdot cos(v)+cos(u)\cdot sin(v)\quad \quad \color{red}{(5)}$

BEVIS (2):

Vinkelen (u-v) er vinkelen mellom vektorene $\vec{OB}$ og $\vec{OC}$ Begge disse har lengde en.

$\vec{OB}= [\cos v, \sin v] \\ \vec{OC} = [\cos u, \sin u]$

Skalarprodukt:

$ [\cos u, \sin u] \cdot [\cos v, \sin v] = 1 \cdot 1 \cdot \cos(u-v) \\ \cos(u-v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v \quad \quad \color{red}{(2)}$

BEVIS (3):

$\cos(-v)= \cos v \\ \sin(-v) = - \sin v $

$\cos(u-v) = \\ \cos(u-(-v)) = \cos u \cos (-v) + \sin u \sin (-v) \\ \cos( u+v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v \quad \quad \color{red}{(3)} $

BEVIS (5):

$ sin v = cos (90 - v) \\ sin (u + v) = cos (90 - (u+v)) \\ sin (u+v) = cos ((90-u)-v) \\ sin (u+v) = cos (90+u) cosv + sin(90-u)sinv \\ sin (u+v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v \quad \quad \color{red}{(5)}$

BEVIS (4):

$ \sin (u+v)= \sin u \cos v + \cos u \sin v \\ \sin (u+(-v)) = \sin u \cos(-v) + \cos u \sin(-v) \\ \sin (u-v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v \quad \quad \color{red}{(4)}$

Dobble vinkler

$sin(2u) = 2sin(u) \cdot cos(u) \quad \quad \color{red}{(6)} \\\ cos(2u) = cos^2u - sin ^2u \quad \quad \color{red}{(7)}$

$cos(2u) = 2 cos^2 -1 (u)\quad \quad \color{red}{(8)}$

$ cos(2u) = 1 - 2 sin^2 (u)\quad \quad \color{red}{(9)}$

Dersom u + v = 180° har vi at Sin v = sin u og cos v = -cos u

Fra sum til produkt

$sin u + sin v= 2 sin ( \frac{u+v}{2}) cos ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(10)}$

$sin u - sin v= 2 cos ( \frac{u+v}{2}) sin ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(11)}$

$cos u + cos v= 2 cos ( \frac{u+v}{2}) cos ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(12)}$

$cos u - cos v= - 2 sin ( \frac{u+v}{2}) sin ( \frac{u-v}{2})\quad \quad \color{red}{(13)}$

Fra produkt til sum

$sin u sinv = \frac 12[ cos (u-v) - cos (u+v)]\quad \quad \color{red}{(14)}$

$cos u cos v = \frac 12[ cos (u-v) + cos (u+v)]\quad \quad \color{red}{(15)}$

$sin u cos v = \frac 12[ sin (u+v) + sin (u-v)]\quad \quad \color{red}{(16)}$

$cos u sinv = \frac 12[ sin (u+v) - sin (u+v)]\quad \quad \color{red}{(17)}$

Flere funksjoner

De tre funksjonene som følger er ikke pensum i R2.

$ cot (a) = \frac xy \quad \quad sec (a) = \frac 1x \quad \quad cosec (a) = \frac 1y $

De tre neste er ikke pensum, men greie å kjenne til:

• <math>cot B = \frac cb = \frac{ cos B}{sin B} = \frac {1}{tan B}</math>

• <math>sec B = \frac ac = \frac{1}{cos B}</math>

• <math>cosec B = \frac ab = \frac{1}{sin B} </math>

$tan^2v + 1 = sec^2v\quad \quad\quad \quad \color{red}{(2)} \\ cot^2v+1 = csc^2v\quad \quad \color{red}{(3)}$

Geometrisk tolkning av de trigonometriske funksjonene. Figuren nedenfor viser de forskjellige trigonometriske funksjonene inntegnet i enhetssirkelen.

Hver av de trigonometriske funksjonene uttrykt ved de andre fem.
Uttrykt ved	<math> \sin v\!</math>	<math> \cos v\!</math>	<math> \tan v!</math>	<math> \csc v\!</math>	<math> \sec v\!</math>	<math> \cot v\!</math>
<math> \sin v =\!</math>	<math> \sin v \! </math>	<math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 v}\! </math>	<math>\pm\frac{\tan v}{\sqrt{1 + \tan^2 v}}\! </math>	<math> \frac{1}{\csc v}\! </math>	<math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 v - 1}}{\sec v}\! </math>	<math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 v}}\! </math>
<math> \cos v =\!</math>	<math>\pm\sqrt{1 - \sin^2 v}\! </math>	<math> \cos v\! </math>	<math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 v}}\! </math>	<math>\pm\frac{\sqrt{\csc^2 v - 1}}{\csc v}\! </math>	<math> \frac{1}{\sec v}\! </math>	<math>\pm\frac{\cot v}{\sqrt{1 + \cot^2 v}}\! </math>
<math> \tan v =\!</math>	<math>\pm\frac{\sin v}{\sqrt{1 - \sin^2 v}}\! </math>	<math>\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 v}}{\cos v}\! </math>	<math> \tan v\! </math>	<math>\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 v - 1}}\! </math>	<math>\pm\sqrt{\sec^2 v - 1}\! </math>	<math> \frac{1}{\cot v}\! </math>
<math> \csc v =\!</math>	<math> \frac{1}{\sin v}\! </math>	<math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 v}}\! </math>	<math>\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 v}}{\tan v}\! </math>	<math> \csc v\! </math>	<math>\pm\frac{\sec v}{\sqrt{\sec^2 v - 1}}\! </math>	<math>\pm\sqrt{1 + \cot^2 v}\! </math>
<math> \sec v =\!</math>	<math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 v}}\! </math>	<math> \frac{1}{\cos v}\! </math>	<math>\pm\sqrt{1 + \tan^2 v}\! </math>	<math>\pm\frac{\csc v}{\sqrt{\csc^2 v - 1}}\! </math>	<math> \sec v\! </math>	<math>\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 v}}{\cot v}\! </math>
<math> \cot v =\!</math>	<math>\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 v}}{\sin v}\! </math>	<math>\pm\frac{\cos v}{\sqrt{1 - \cos^2 v}}\! </math>	<math> \frac{1}{\tan v}\! </math>	<math>\pm\sqrt{\csc^2 v - 1}\! </math>	<math>\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 v - 1}}\! </math>	<math> \cot v\! </math>

Ved observasjon ser vi at fortegnet til en trigonometrisk funksjon varierer avhengig av hvilken kvadrant man befinner seg i. Nedenfor følger en oversikt.

Kvadrant	I	II	III	IV
cos	pos	neg	neg	pos
sin	pos	pos	neg	neg
tan	pos	neg	pos	neg
cot	pos	neg	pos	neg
sec	pos	neg	neg	pos
cosec	pos	pos	neg	neg

Tilbake til R2 Hovedside