Trigonometri I

I en trekant med vinkler A, B og C og sider a, b og c (a motstående til A osv.) er

<math>a^2 =b^2+ c^2 - 2bc \cdot cosA </math>
eller
<math>b^2 =a^2+ c^2 - 2ac \cdot cosB </math>
eller
<math>c^2 =a^2+ b^2 - 2ab \cdot cosC </math>

Setningen kalles også den utvidede pytagoreiske læresetning.
Dersom man kjenner alle tre sidene i en trekant kan man bruke cosinussetningen til å finne vinklene. Man kan også bruke cosinussetningen til å finne en side, dersom man kjenner to sider og motstående vinkel til den ukjente siden.

Eksempel :
En trekant har sider med lengde 4,3 og 2. Hva er vinklene i trekanten? Trekanten kan se slik ut:

<math>a^2 =b^2+ c^2 - 2bc \cdot cosA \Rightarrow Cos A = \frac{a^2 -b^2- c^2}{-2bc} = \frac{4-9-16}{-2\cdot 3 \cdot 4}= \frac{21}{24}\Rightarrow A = 29 ^\circ</math>

<math>b^2 =a^2+ c^2 - 2ac \cdot cosB \Rightarrow Cos B = \frac{b^2 -a^2- c^2}{-2ac} = \frac{9-4-16}{-2\cdot 2 \cdot 4}= \frac{11}{16}\Rightarrow B = 46,6 ^\circ</math>

=Bevis for cosinussetningen

Man må vise at setningen gjelder både for spissvinklede og stompvinklede trekanter.

Spissvinklede:

Bruker pytagoras på trekanten ADC:

<math>x^2 + h^2 = b^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</math>

Bruker pytagoras på trekanten DBC:

<math>h^2 + (c-x)^2 = a^2</math>

Kombinerer de to utrykkene ved å sette inn for h i andre:

$b^2 - x^2 + c^2 - 2cx + x^2 =a^2$

$a^2 = b^2 + c^2 -2cx$

Finner cosA:

<math> cosA = \frac xb \Rightarrow x = b \cdot cosA</math>

og får:

<math>a^2 = b^2 + c^2 -2 \cdot b \cdot c \cdot cosA</math>

Stompvinklede:

Bruker pytagoras på trekanten DBC:

<math>a^2 = h^2 + (c+x)^2 \\ a^2 = h^2 + c^2 +2cx + x^2</math>

Bruker pytagoras på trekanten DAC:

<math>b^2 = x^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = b^2 - x^2</math>

Kombinere resultatene og får:

<math>a^2 = b^2 - x^2 + c^2 +2cx + x^2 \\ a^2 = b^2 + c^2 + 2cx</math>

Fra enhetssirkelen har man at cosA = -cos(180-A). Da får man:

<math>cos(180 - A) = - cosA = \frac xb \Rightarrow x = -bcosA </math> som gir:

<math>a^2 = b^2 + c^2 - 2bccosA</math>

---