Tallsystemer
Innledning
Det finnes mange tallsystemer. De har blitt utviklet gjennom historien og tilpasset tidens behov. Det systemet vi bruker mest er titallsystemet, men andre systemer er også synlige. Tid måles i sekunder og minutter, Det basere seg på 60, det Babylonske tallsystem. Dersom man driver med data bør man kjenne to-, atte-, og 16 tallsystemet.
Romertall
I liket med andre kulturer benyttet romerne bokstaver for å symbolisere tall.
| Titall | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
| Romertall | I | II | III | V | X | L | C | D | M |
For å unngå mer enn tre like tegn ved siden av hverandre skrives for eksempel 4 som IV. Regelen er at når en bokstav med lavere verdi kommer foran en med større verdi, trekkes den laveste verdien fra den største (4 = 5 - 1). Systemet er lite praktisk å regne med.
Titallsystemet
Vi benytter til daglig et tallsystem vi kaller Titallsystemet. dekadisk system
Deka betyr ti og er det tallsystemet vi vanligvis bruker når vi regner. Vi har et system som er basert på ti siffer, disse er 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Forskjellen på et tall og et siffer er at et tall kan bestå av et eller flere siffer. tallet 69 består for eksempel av to siffer, 6 og 9. I det dekadiske systemet er det enkelte tall som er spesielle. Vi kaller dem dekadiske enheter:
10 - ti
100 - hundre
1.000 - tusen
10.000 - titusen
100.000 - hundretusen
1.000.000 - en million
Titallsystemet benytter ti siffer, fra 0 til 9. Titallsystemet er et posisjonssystem. Det betyr at et siffer betydning, er avhengig av posisjon. Her er noen posisjoner:
Tallverdien er avhengig av sifferets verdi og posisjon. Man har forestillinger om runde tall, feks. 10, 100 eller 1000. Som man vil se er dette ikke gyldig når man beveger seg over i andre systemer. Enkelte hevder at man bør gå bort fra titallsystemet og over i tolvtallsystemet fordi det er lettere å regne med. Den diskusjonen lar vi ligge her, men du kan jo eksperimentere. Grunnregelen er imidlertid slik: Posisjnen går fra venstre mot høyre.Man begynner i nulte. Alt er potenser. Da blir det slik:
Syvtallsystemet
La oss bruke syv som grunntall i stede for ti. Syvtallsystemet er lite anvendt, utover mulig pedagogisk trening, og til å plage elver ved eksamen. Det er viktig å forstå andre tallsystemer enn titlllsystemet, nettopp for å forstå hvordan andre tallsystemer virker. Dersom du har datamaskin og mobiltelefon er du sikkert glad for at noen har gjort det mulig. Nå har du muligheten til å få litt innsikt i hvordan de virker (begge bruker totallsystemet som kommer nedenfor).
Syvtallsystemet er et posisjonssystem som benytter seg av sifferen 0, 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Syv skrives som 10. For å forstå andre tallsystemer der posisjon har betydning må man kunne regne med potenser. I titallsystemet hr man ikke noe eget symbol eller siffer for tallet ti, man bruker 1 og null, fordi enerplassen er full når vi kommer til 9, derfor 10. På samme måte i syvtallsystemet er enerplassen full nå man kommer til 6. Syv er derfor symbolisert med 10. Syvtallsystemet har fra venstre "enerplass" , syverplass", "førtiniplass" og så videre med potenser av syv.
For å skille de forskjellige tallene i de forskjellige tallsystemene fra hverandre bruker vi indekser.
<tex>100_{syv}= ( 1 \cdot 7^2 + 0\cdot 7^1 + 0\cdot 7^0)_{ti}= 49_{ti}</tex>.
På den annen side er
<tex>100_{ti}=( 2\cdot7^2 +0\cdot 7^1 + 2\cdot7^0)_{ti}= 202_{syv}</tex>.
Dette viser at forestillingen om "runde tall", er avhengig av tallsystem.
Desimaltall EKS: (56,23)syv = ( 5·71 + 6·70+ 2·7-1 + 3·7-2)ti = ( 35 + 6 + 2/7 + 3/49)ti ≈ 41,347ti
Divisjon EKS:
Totallsystemet
Totallsystemet brukes mye i forbindelse med datamaskiner. Systemet består av sifrene 0 og 1, det medfører at tallene har en tendens til å bli lange og plasskrevende. Totall systemet er, i likhet med titallsystemet et posisjonssystem. Her er noen av tallene:
| Totallsystem | Titallsystem |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | 10 |
| 100000 | 32 |
| 1000000 | 64 |
| 10000000 | 128 |
| 100000000 | 256 |
| 1000000000 | 512 |
| 10000000000 | 1024 |
Bit og byte
Et siffer i den binære representasjonen av et tall, 1 eller 0. Tallet 1011 er representert ved fire bit. Det er en fundamental enhet i formaliseringen av informasjon. I datamaskiner er det slik at 1 representerer strøm på, signal går, og 0 representer strom av, signal går ikke. På den måten styrer datamaskinen alt du gjør, ved hjelp av matematikk.
Regneregler:
Fra titall til totall
For å gå fra titall til totall bruker vi divisjonsmetoden. Man dividerer på grunntallet i det systemet man skal til, i dette tilfelle 2. Dersom man vil skrive 69 i totallsystemet blir det slik:
Fra totall til titall
Titallsystemet har "enerplass", "tierplass", "hundrerplass" osv. I totallsystemet har man fra venstre: "enerplass", "toerplass", "firerplass", "åtterplass" osv. Et tall i totallsystemet gjøres om til titall på denne måten:
<tex>110110 = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 54 </tex>
Dette er potensregning med grunntall 2.
Regneregler
Addisjon
To tall skrives under hverandre. Dersim summen blir to settes en ener i posisjonen til venstre:
Multiplikasjon
La oss sjekke multiplikasjonen ved å gjøre om til titallsystemet. Dette er potensregning.
11101to= ( 1· 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 )ti= (16 + 8 + 4 + 0 + 1)ti = 29ti.
10000001to = ( 1· 27 + 0 · 26 + 0 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20)ti = (128 + 1)ti=129ti.
111010011101to = ( 1 · 211 + 1 · 210 + 1 · 29 + 0 · 28 1· 27 + 0 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20)ti = (2048 + 1024 + 512 + 0 + 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 4 + 0 + 1)ti = 3741ti
I titallsystemet kan vi kontrollere: 29 · 129 = 3741
Vi har sett hvordan vi regner om fra totall- til titallsystemet. Når skal vi gå motsatt vei. Vi skal gjøre 324ti om til titallsystemet. Måten det gjøres på er at man dele på to (heltallsdivisjon) og beholder resten. Når vi deler på to kan resten bli en eller null. Vi bygger opp tallet i totallsystemet bakfra, som vist under.
324ti=?to
Som vi ser er 324ti=101000100to. Synes du totallsystemet blir for plasskrevende kan du jo sjekke ut det heksadesimale (16) tallsystemet.
Det Heksadesimale Tallsystem
Tallsystemet brukes mye innen it- faget. Her er noen av tallene:
EKS: A0Fseksten= (10 · 162 + 0 · 161 + 15 · 160) ti = (2560 + 0 + 15)ti = 2575ti
