Tallsystemer
Innledning
Det finnes mange forskjellige tallsystemer. De har blitt utviklet gjennom historien og tilpasset tidens behov. Det systemet vi bruker mest er titallsystemet, men andre systemer er også synlige. Tid måles i sekunder og minutter, Det basere seg på 60, det Babylonske tallsystem. Dersom man driver med data har man kanskje hørt om to-, åtte-, eller 16 tallsystemet.
Romertall
I liket med andre kulturer benyttet romerne bokstaver for å symbolisere tall.
| Titall | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
| Romertall | I | II | III | V | X | L | C | D | M |
For å unngå mer enn tre like tegn ved siden av hverandre skrives for eksempel 4 som IV. Regelen er at når en bokstav med lavere verdi kommer foran en med større verdi, trekkes den laveste verdien fra den største (4 = 5 - 1). Systemet er lite praktisk å regne med.
Titallsystemet
Vi benytter til daglig et tallsystem vi kaller Titallsystemet, det dekadiske system.
Deka betyr ti og er basis når man regner. Vi har et system som er basert på ti siffer, disse er 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Forskjellen på et tall og et siffer er at et tall kan bestå av et eller flere siffer. tallet 69 består for eksempel av to siffer, 6 og 9. I det dekadiske systemet er det enkelte tall som er spesielle. Vi kaller dem dekadiske enheter:
10 - ti
100 - hundre
1.000 - tusen
10.000 - titusen
100.000 - hundretusen
1.000.000 - en million osv.
Titallsystemet benytter ti siffer, fra 0 til 9. Titallsystemet er et posisjonsystem. Det betyr at et siffer betydning, er avhengig av posisjon. Her er noen posisjoner:
Tallverdien er avhengig av sifferets verdi og posisjon.
| Potensform | <math>10^4</math> | <math>10^3</math> | <math>10^2</math> | <math>10^1</math> | <math> 10^0</math> |
| Titall | <math>10000</math> | <math>1000</math> | <math>100</math> | <math>10</math> | <math>1</math> |
Man har forestillinger om runde tall, feks. 10, 100 eller 1000. Som man vil se er dette ikke gyldig når man beveger seg over i andre systemer.
Syv-tallsystemet
| Potensform | <math>7^4</math> | <math>7^3</math> | <math>7^2</math> | <math>7^1</math> | <math> 7^0</math> |
| Titall | <math>2401</math> | <math>343</math> | <math>49</math> | <math>7</math> | <math>1</math> |
La oss bruke syv som grunntall i stede for ti. Syv-tallsystemet er lite anvendt utover mulig pedagogisk trening. Når man opererer med andre tallsystemer indikerer vi hvilket (dersom det ikke er helt åpenbart) ved å sette på en indeks på tallet:
<math>100_{syv}= 49_{ti}</math>.
Likheten forteller oss at 100 i syv-tallsystemet er lik 49 i titallsystemet.
Syv-tallsystemet er et posisjonsystem som benytter seg av sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Syv skrives som 10.
For å forstå andre tallsystemer der posisjon har betydning må man kunne regne med potenser. I titallsystemet har man ikke noe eget symbol eller siffer for tallet ti, man bruker 1 og 0, fordi enerplassen er full når vi kommer til 9, derfor 10.
På samme måte i syvtallsystemet er enerplassen full nå man kommer til 6. Syv er derfor symbolisert med 10. Syvtallsystemet har fra venstre "enerplass" , syverplass", "førtiniplass" og så videre, med potenser av syv.
Det er fordi
<math>100_{syv}= ( 1 \cdot 7^2 + 0\cdot 7^1 + 0\cdot 7^0)_{ti}= 49_{ti}</math>.<math>100_{syv}= ( 1 \cdot 7^2 + 0\cdot 7^1 + 0\cdot 7^0)_{ti}= 49_{ti}</math>.
På den annen side er <math>100_{ti}= 202_{syv}</math>. Dette finner vi slik:
<math>100_{ti}=( 2\cdot7^2 +0\cdot 7^1 + 2\cdot7^0)_{ti}= 202_{syv}</math>.
Dette viser at forestillingen om "runde tall", er avhengig av tallsystem.
Totallsystemet
| Potensform | <math>2^4</math> | <math>2^3</math> | <math>2^2</math> | <math>2^1</math> | <math> 2^0</math> |
| Titall | <math>16</math> | <math>8</math> | <math>4</math> | <math>2</math> | <math>1</math> |
Totallsystemet brukes mye i forbindelse med datamaskiner. Systemet består av sifrene 0 og 1, det medfører at tallene har en tendens til å bli lange og plasskrevende. Totall systemet er, i likhet med titallsystemet et posisjonssystem. Her er noen av tallene:
| Titallsystem | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 32 | 64 | 256 | 1024 |
| Totallsystem | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 100000 | 1000000 | 10000000 | 100000000000 |
Bit og byte
Et siffer i den binære representasjonen av et tall, 1 eller 0. Tallet 1011 er representert ved fire bit. Det er en fundamental enhet i formaliseringen av informasjon. I datamaskiner er det slik at 1 representerer strøm på, signal går, og 0 representer strøm av, signal går ikke. På den måten styrer datamaskinen alt du gjør, ved hjelp av matematikk.
Fra titall til totall
For å gå fra titall til totall bruker vi divisjonsmetoden. Man dividerer på grunntallet i det systemet man skal til, i dette tilfelle 2. Dersom man vil skrive 69 i totallsystemet blir det slik:
Fra totall til titall
Titallsystemet har "enerplass", "tierplass", "hundrerplass" osv. I totallsystemet har man fra venstre: "enerplass", "toerplass", "firerplass", "åtterplass" osv. Et tall i totallsystemet gjøres om til titall på denne måten:
<math>110110 = 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 32 + 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 54 </math>
Dette er potensregning med grunntall 2.
Regneregler
Addisjon
To tall skrives under hverandre. Dersom summen blir to settes en ener i posisjonen til venstre:
Multiplikasjon
Multiplikasjonen er lik den du lærte på barneskolen. Gangetabellen er grei:
<math>1 \cdot 1 = 1</math> og <math>1 \cdot 0 = 0</math>
Man må imidlertid være på vakt når man summerer.
Husk at 1 + 1 = 10 og 1+1+1 = 11 for å nevne et par eksempler. Eksempel på multiplikasjon
Desimaltall
Man kan operere med desimaltall i andre tallsystemer, nesten på samme måte som i titallsystemet. I totallsystemet blir det slik:
| Totall | <math>2^2</math> | <math>2^1</math> | <math>2^0</math> | <math>2^{-1}</math> | <math>2^{-2}</math> | <math>2^{-3}</math> | <math>2^{-4}</math> | <math>2^{-5}</math> |
| Titall | 4 | 2 | 1 | <math>\frac12</math> | <math>\frac14</math> | <math>\frac18</math> | <math>\frac1{16}</math> | <math>\frac1{32}</math> |
Ut fra tabellen blir <math>1101,101_{to} = 8 + 4 + 0 + 1 + \frac12 + 0 + \frac18 =13\frac58</math>
Skal man gå motsatt vei blir det noe mere problematisk fordi enkelte verdier, for eksempel 0,1 ikke har en eksakt verdi i totallsystemet og man må ty til tilnærminger. Enkelte verdier er imidlertid greie: <math>10,25_{ti} = 8 + 0 + 2 + 0 + 0 + \frac14 =1010,01</math>
Det Heksadesimale Tallsystem
Tallsystemet brukes mye innen IT- faget. Her er noen av tallene:
| Titall | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| Sekstentall | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 |
Man merker seg at tallene fra 10-15 symboliseres med bokstavene A - F.
Mellom seksten- og titallsystemet
<math> A0F_{seksten} = (10 \cdot 16^2 + 0 \cdot 16^1 + 15 \cdot 16^0)_{ti} = (2560 + 0 + 15)_{ti} = 2575_{ti}</math>
Hva er så 5211 i det heksadesimale tallsystem? Man lager en liten tabell slik som den nedenfor og observerer at 5211 er mindre enn 65536, men større enn 4096.
| <math>16^4</math> | <math>16^3</math> | <math>16^2</math> | <math>16^1</math> | <math>16^0</math> |
| 65536 | 4096 | 256 | 16 | 1 |
Mellom sekstentall og totallsystemet
| Titall | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| Sekstentall | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F | 10 |
| Totall | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 | 10000 |
Dersom man skal gå fra binærtall til heksadesimale tall lønner det seg å lese det binære tallet i grupper på fire. Tallet 11100101 består av åtte siffer. De fire bakerste er 0101 som tilsvarer 5 i det heksadesimale system. De neste fire er 1110 som tilsvarer E. Det heksadesimale tallet blir da E5.
Dersom tallet består av et antall siffer som ikke går opp i fire legger man på et antall nuller i forkant slik at det går opp. Eksempelvis kan man skrive 11111 som består av fem siffer som 00011111. I sekstentallsystemet skrives det som 1F.
Dersom man ønsker å gå fra heksadesimalt til binært gjøres det ved å erstatte det heksadesimale siffer med tilsvarende fire siffer i binærsystemet. Hekstallet 8A består av siffrene 8 og A. 8 tilsvarer 1000 og A tilsvarer 1010, det binære sifferet blir da 10001010.
Sekstitallsystemet
Man finner systemet igjen i tid, måling av vinkler og i geografisk posisjonering, for å nevne noe.
En time er delt i 60 minutter. Et minutt er delt i 60 sekunder.
To timer og fjorten minutter og syv sekunder kan skrives "2:14:07". Det tolkes som
<math>(2 \cdot 60^2 + 14 \cdot 60^1 + 7 \cdot 60^0)sekunder </math>.
Alternativt, ønsker man tiden i timer blir det
<math>(2 \cdot 60^0 + 14 \cdot 60^{-1} + 7 \cdot 60^{-2} = 2 + \frac{14}{60} + \frac{7}{3600} = 2 + 0,23333... + 0,0019444... = 2,235)timer </math>.
Legg merke til at tallene 2, 14 og 7 er tall i titallsystemet. Man bruker ikke egne tegn for alle seksti tallene, selv om Babylonerne langt på vei gjorde det.