S2 2015 vår LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven

Oppgave 1

a)

$f'(x) = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x} $

b)

Brukar brøkregelen med $u=x^2-1$ og $v=x$:

$$g'(x)= \frac{u'\cdot v - u \cdot v'}{v^2} =\frac{2x\cdot x - (x^2-1)\cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2-x^2+1}{x^2} = \frac{x^2+1}{x^2} $$

c)

Brukar produktregelen til å derivere $(3x+1)\cdot e^x$:

$h'(x)=3 \cdot e^x + (3x+1) \cdot e^x = (3x+4)e^x $

Oppgave 2

a)

Jeg leser av nullpunktene på grafen:

$x=-3$, $x=-1$ og $x=3$.

Da vet vi at $(x+3)$, $(x+1)$ og $(x-3)$ er faktorer i polynomet $f(x)$.

$f(x)=(x+3)(x+1)(x-3)$

b)

Jeg bruker ett av nullpunktene, f.eks. $x=3$.

Vi vet at $f(x)=0$ for $x=3$:

$f(3)=0 \\ 3^3 +3^2+k\cdot 3 + k =0 \\ 27 +9 +3k +k =0 \\ 4k =-36 \\ k = -9 $

Oppgave 3

a)

En rekke er aritmetisk dersom differansen mellom et ledd og leddet foran er konstant.

$a_n - a_{n-1} = d$

b)

Av figuren ser vi at veggen er slik at $1$. rad (fra toppen) består av 1 murstein, 2. rad består av 2 murstein, 3. rad består av 3 murstein osv. Siste raden består av 20 murstein.

Summen av alle mursteinene blir da en aritmetisk rekke:

$1+ 2 + 3 + \cdots + 20 $

Differansen $d$ mellom hvert ledd er 1. $a_1 =1$ og $n=20$.

Vi bruker formelen for summen av en aritmetisk rekke:

$$S_n = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n \\ S_{20} = \frac{1+20}{2} \cdot 20 = 210 $$

Mureren vil trenge 210 murstein til denne veggen.

Oppgave 4

a)

\begin{align*} x&=0,555 \dots \\ &= 0,5 + 0,05 + 0,005 + \dots \\ &= \frac{5}{10} + \frac{5}{100} + \frac{5}{1000} + \dots \\ &= \frac{5}{10} + \frac{5}{10^2} + \frac{5}{10^3} + \dots \end{align*}

Dette er en geometrisk rekk med $k=\frac{1}{10}$ og $a_1 = \frac{5}{10}$.

Siden $-1<k<1$, vil rekken konvergere med summen

$$s=\frac{a_1}{1-k} \\ x= \frac{\frac{5}{10}}{1-\frac{1}{10}} = \frac{\frac{5}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{5}{9} $$

b)

\begin{align*} y &=0,232323 \dots \\ &=0,23 + 0,0023 + 0,000023 + \dots \\ &=\frac{23}{100}+\frac{23}{10000} + \frac{23}{1000000} + \dots \\ &=\frac{23}{10^2}+\frac{23}{10^4} + \frac{23}{10^6} + \dots \end{align*}

Dette er en geometrisk rekke med $k=\frac{1}{100}$ og $a_1=\frac{23}{100}$.

Siden $-1<k<1$, vil rekken konvergere med summen:

$$s=\frac{a_1}{1-k} \\ y= \frac{\frac{23}{100}}{1-\frac{1}{100}} = \frac{\frac{23}{100}}{\frac{99}{100}} =\frac{23}{99} $$

Oppgave 5

a)

$f(-1) = (-1)^3+6 \cdot (-1)^2 + 9 \cdot (-1) +4 = -1 + 6 - 9 +4 = 0 $

For å finne eventuelle andre nullpunkter kan vi bruke polynomdivisjon til å løse likningen $f(x)=0$.

Siden $f(x)=0$ for $x=-1$, vet vi at divisjonen $f(x):(x+1)$ går opp:

$(x^3+6x^2+9x+4):(x+1)= x^2+5x+4 $

Bruker abc-formelen til å løse likningen $x^2+5x+4=0$:

$$x= \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2} = \frac{-5\pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-5\pm3}{2}\\ x=-1 \vee x=-4$$

Nullpunktene til $f$ er $x=-1$ og $x=4$.

b)

Grafen til $f$ har eventuelle topp- eller bunnpunkter der $f'(x)=0$.

$f'(x)=3x^2+12x+9 = 3(x^2+4x+3)$

Løser likningen $x^2+4x+3 =0 $:

$$ x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1 \cdot 3}}{2\cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16-12}}{2} = \frac{-4\pm 2}{2} \\ x=-3 \vee x=-1 $$

$\Rightarrow f'(x)= 3(x+1)(x+3) $

Bruker det faktoriserte uttrykket til å tegne fortegnslinje for $f'(x)$:

Av fortegnslinja ser vi at $f'(x)$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x=-3$, og fra $-$ til $+$ i $x=-1$.

$f(-3)=(-3)^3+6 \cdot (-3)^2 + 9 \cdot (-3) + 4 = -27 + 54 - 27 +4 = 4 \\ f(-1) = 0 $

Grafen til $f$ har et toppunkt i $(-3,4)$ og et bunnpunkt i $(-1, 0)$.

c)

Grafen til $f$ har eventuelle vendepunkter der $f' '(x)=0$.

$f' '(x) = 6x+12 = 6(x+2)$

$6(x+2)=0 \\ x= -2 $

Tegner fortegnslinje for $f' '(x)$:

Vi ser at $f' '(x)$ skifter fortegn når $x=-2$.

$f(-2)= (-2)^3+6 \cdot (-2)^2 + 9 \cdot (-2) +4 = -8 +24 -18 +4 = 2$

Grafen til $f$ har et vendepunkt i $(-2, 2)$.

d)

Oppgave 6

a)

Summen av alle sannsynlighetsverdiene i en sannsynlighetsfordeling skal være lik 1.

Det gir oss første likning: $a+b+c=1$

Forventningsverdien regner vi ut slik: $\mu=E(X)=\sum x_i \cdot P(X=x_i) $ som gir:

$\mu=E(X)= 0 \cdot a + 1 \cdot b + 2 \cdot c = b+2c $

Det gir oss andre likning: $b+2c=\frac{1}{2}$

Variansen regner vi ut slik: $Var(X)= \sum (x_i - \mu)^2 \cdot P(X=x_i) $ som gir:

$ Var(X)= (0-\frac{1}{2})^2 \cdot a + (1-\frac{1}{2})^2 \cdot b + (2-\frac{1}{2})^2 \cdot c = \frac{1}{4}a + \frac{1}{4}b + \frac{9}{4} c $

Det gir oss tredje likning: $ \frac{1}{4}a + \frac{1}{4}b + \frac{9}{4} c = \frac{1}{2} \\ a + b +9c = 2 $

b)

Jeg starter med andre likning: $ b= \frac{1}{2} -2c $

Setter dette inn i første likning: $ a+ \frac{1}{2} -2c +c = 1 \\ a=\frac{1}{2}+c$

Setter inn i siste likning: $(\frac{1}{2}+c)+(\frac{1}{2}-2c)+9c =2 \\ 8c = 1 \\ c= \frac{1}{8} $

$a=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}= \frac{5}{8} \\ b= \frac{1}{2}-\frac{2}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} $

Oppgave 7

a)

$x=90$ gir

$z=\frac{x-\mu}{\sigma}= \frac{90-100}{20} = \frac{-10}{20}= -\frac{1}{2} = -0,50 $

Denne $z$-verdien kan vi slå opp i tabellen for standard normalfordeling:

$P(X\leq 90)= P(Z\leq -0,50)=0,3085$.

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt hjortebukk veier mindre enn 90 kg er ca. 31 %.

b)

$x=110$ gir:

$z=\frac{110-100}{20}=\frac{10}{20}=0,50$

$P(90 \leq X \leq 110) = P(-0,50 \leq Z \leq 0,50) \\ = P(Z\leq 0,50) - P(Z\leq -0,50) \\ = 0,6915 - 0,3085 =0,3830 $

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt bukk veier mellom 90 og 110 kg er 38,3 %.

Oppgave 8

Jeg ser først på funksjonen $f$:

Når $x\rightarrow -\infty$ vil $e^{-x} \rightarrow \infty$.

Da vil $\frac{100}{1+e^{-x}} \rightarrow 0$ og $f(x) \rightarrow 0 -25 = -25 $

Den eneste grafen som passer med dette er graf (4).

Nå ser vi på funksjonen $g$:

Når $x \rightarrow \infty $ vil $e^{-(x-5)} \rightarrow 0 $.

Da vil $g(x) \rightarrow \frac{100}{1+0} = 100 $

Den eneste grafen som flater ut ved 100, er graf (1).

Graf (4) hører til $f$, og graf (1) hører til $g$.

Oppgave 5

a)

Når grafen skjærer y-aksen, er $x=0$.

Regner ut $f(0)$:

$$f(0)=\frac{a}{1+b\cdot e^0} = \frac{a}{1+b} $$

b)

I vendepunktet er $f' '(x)=0$.

Jeg bruker CAS i GeoGebra til å løse likningen $f' '(x)=0$. Etterpå settter jeg løsningen inn i uttrykket for $f(x)$.

c)

Stigningstallet til tangenten i punktet $V$ er lik den deriverte av $f$ i punktet $V$.

Jeg regner ut $f'(x)$, der jeg setter inn $x$-koordinaten til vendepunktet. (Som vi fant i oppg. b))