S2 2014 høst LØSNING
Del 1
Oppgave 1
Oppgave 2
Oppgave 3
Oppgave 4
Oppgave 5
a)
I punktet $A$ er $x=400$.
To av de rette linjene går også gjennom punktet $A$.
Den ene er linja $y=4,46x$ (denne har størst stigningstall, og stiger raskest av de tre rette linjene).
Den andre er linja $y=2,06x+960$ (dette er linja som tangerer grafen til $y=K(x)$ i punktet $A$).
Vi kan dermed bruke en av disse linjene, til å regne ut funksjonsverdien til $K(x)$ for $x=400$.
Vi får da:
$$E(x) = \frac{K(x)}{x} \\ E(400) = \frac{K(400)}{400} = \frac{4,46 \cdot 400}{400} = 4,46$$
b)
Grensekostnaden er $K'(x)$
Den deriverte til $K(x)$ når $x=400$, er det samme som stigningstallet til tangenten til grafen når $x=400$.
Linja $y=2,06x+960$ tangerer grafen til $K(x)$ i punktet $A$, der $x=400$.
Vi ser at denne tangenten har stigningstallet $2,06$.
$K'(400)=2,06$
c)
Den minste verdien for enhetskostnaden finner vi der enhetskostnaden er lik grensekostnaden
$$K'(x)=E(x)$$
Nå skal vi se på punket $B$. Her er $x=1000$.
Den rette linja $y=3,43x$ tangerer grafen til $K(x)$ i punktet $B$.
Vi ser at tangenten har stigningstallet $3,43$ og derfor er $K'(1000)=3,43$.
Vi kan regne ut enhetskostnaden for $x=1000$ på samme måte som vi gjorde i oppg. a). Vi bruker den rette linja til å regne ut funksjonsverdien til $K(x)$ for $x=1000$.
$$ E(1000) = \frac{K(1000)}{1000} = \frac{3,43 \cdot 1000}{1000}= 3,43 $$
Vi har nå vist at $K'(x)=E(x)$ for $x=1000$.
Den minste enhetskostnaden har vi ved produksjon av 1000 enheter, og da er enhetskostnaden 3,43 kroner per enhet.
