S2 2013 vår LØSNING
DEL EN
Oppgave 1
a)
Benytter produktregelen:
<math>f^\prime(x) = x^\prime \cdot e^{2x} + x \cdot (e^{2x})^\prime = 1 \cdot e^{2x} + x \cdot 2e^{2x} = e^{2x}(1 + 2x).</math>
b)
Her bruker vi brøkregelen:
<math>\begin{eqnarray*} g^\prime(x) &=& \frac{(x-1)^\prime (x^2 - 3) - (x-1)(x^2-3)^\prime}{(x^2-3)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 - 3) - (x-1) \cdot 2x}{(x^2 - 3)^2}\\ &=& \frac{x^2 - 3 - 2x^2 + 2x}{(x^2-3)^2} = \frac{-x^2 + 2x - 3}{(x^2 - 3)^2} = -\frac{x^2 - 2x + 3}{(x^2 - 3)^2} \end{eqnarray*}.</math>
Oppgave 2
I denne oppgaven får vi bruk for at divisjonen <math>p(x) : (x-a)</math> går opp dersom <math>p(a) = 0</math>.
a)
Hvis divisjonen skal gå opp så må vi få 0 når vi setter 3 inn i polynomet, det vil si at
<math>3^2 - 2 \cdot 3 + a = 0 \ \Leftrightarrow \ 3 + a = 0 \ \Leftrightarrow \ a = -3.</math>
b)
Her må <math>x-b</math> være en faktor i polynomet. Faktoriserer vi <math>x^2 - 3x - 4</math>, f.eks. med ABC-formelen, får vi at
<math>x^2 - 3x - 4 = (x+1)(x-4).</math>
Da må <math>x-b = x+1</math> eller <math>x-b = x-4</math>, som gir at <math>b = -1</math> eller <math>b = 4</math>. En annen måte å løse oppgaven på er å, igjen, si at når vi setter inn <math>b</math> i polynomet <math>x^2 - 3x - 4</math>, så får vi 0. Da får vi:
<math>b^2 - 3b - 4 = 0,</math>
og løser vi denne får vi de samme verdiene for <math>b</math>.
Oppgave 3
Denne rekken har formen
<math>a_1 + a_2 + ... = 11 \cdot (-0.1)^0 + 11 \cdot (-0.1)^2 + 11 \cdot (-0.1)^3 + ...</math>
Kvotienten til rekken er <math>k = -0.1</math>. Siden kvotienten er mellom -1 og 1 (har absoluttverdi mindre enn 1), så konvergerer rekka. Summen av de <math>n</math> første leddene er, ved å bruke sumformelen, gitt ved
<math>\displaystyle S_n = a_1 \cdot \frac{k^n - 1}{k-1} = 11 \cdot \frac{(-0.1)^n - 1}{-1.1} = 11 \cdot \frac{1 - (-0.1)^n}{1.1} = 10 \cdot (1 - (-0.1)^n).</math> (I det siste leddet ble 11 delt på 1.1, som blir 10.)
Lar vi antall ledd gå mot uendelig er summen gitt ved
<math>\displaystyle S = a_1 \cdot \frac{1}{1-k} = 11 \cdot \frac{1}{1.1} = 10.</math>
