S1 2016 vår LØSNING

Fasit (ikke løsning) laget av matteprat-bruker rekel

Løsning laget av matteprat-bruker LektorH

Diskusjon av denne oppgaven

DEL EN

Oppgave 1

a)

$X^2-3X+2=0 \\ X= \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{2} \\ x=1 \vee x=2$

b)

$lg(4x+3)= lg7 \\ 10^{lg(4x+3)} = 10^{lg7} \\ 4x+3 =7 \\ 4x=4\\ x=1$

Oppgave 2

a)

$(2x-3)^2 -3(x-2)^2 + (x-1)(x+1) = \\ 4x^2-12x+9-3(x^2-4x+4)+x^2-1= \\ 4x^2-12x+9-3x^2+12x-12+x^2-1= \\ 2x^2-4$

b)

$\frac{a^2b^3}{(a^3b)^{-2}} = \frac{a^2b^3}{a{-6}b^{-2}} = a^{2-(-6)}b^{3-(-2)}= a^8b^5$

Oppgave 3

a)

Omkrets: 2x + 2y = 11

Areal: xy=6

<math> \left[ \begin{align*}2x+2y=11\\ xy=6 \end{align*}\right] </math>

b)

<math> \left[ \begin{align*}2x+2y=11\\ xy=6 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*}x=\frac{11}{2}-y\\ xy=6 \end{align*}\right] </math>

$( \frac {11}{2}-y)y=6 \\ -y^2 + \frac{11}{2}y - 6 =0 \\ -2y^2+11y - 12 =0 $

$y = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 96}}{-4} \\ y= \frac{3}{2} \vee y =4$

Innsatt gir det løsninger $( \frac 32, 4) \wedge (4, \frac32 )$ som jo er samme rektangel.

Lenden på rektangelet er 4 og bredden er $\frac 32$.

Oppgave 4

$-5x+x^2 \leq 0 \\ x(-5 + x) \leq 0$

$x \in [0, 5]$

Oppgave 5

a)

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

$\binom{7}{4} = 35$

Teller ned til syvende rad (første rad er nullte rad), teller så fire mot høyre.

b)

Dersom man skal velge ut fire elementer fra en mengde på syv, uten tilbakelegging, kan det gjøres på 35 måter.

Oppgave 6

a)

Det finne 10 siffer medregnet null. Siden koden ikke kan starte med null får vi:

$9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000$

Det finnes 9000 pinkoder.

b)

Her kan man tenke at et siffer "brukes opp" for hver posisjon vi beveger oss mot høyre. Kan fortsatt ikke ha null i første, men kan ha null etter det. Vi får:

$9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7= 4536$

Det finnes 4536 pinnkoder som ikke starter med null og som ikke bruker samme siffer flere ganger.

Oppgave 7

a)

Vertikal asymptote for x= - 1 gir c = 1

Skjærer y akse i y = -4 gir g(0) = -4 som gir b = -4

Skjærer x aksen i x = 2 gir g(2) = 0 eller $2 \cdot 2 - 4 = 0$ som gir a=2

Funksjonsuttrykket blir da:

$g(x)= \frac{2x-4}{x+1}$

b)

Vertikal asymptote for x= -1

Horisontal asymptote finner vi ved å dele alle ledd i teller og nevner på x, for så å la x gå mot uendelig. Man ser at g går da mot 2. Atså er horisontal asymptote y = 2.

Oppgave 8

a)

Gjennomsnittlig vekstfart i intervallet null til hundre:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(1000 +3000 +1000) - 1000}{100} = 40$

Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet er 40. Det betyr at kostnadene ved å produsere en enhet mere øker med 40.

b)

$K´(x)= 0,2x+30 \\ K´(100) = 50$

Det forteller oss at kostnaden ved å øke produksjonen med en enhet er ca. 50.

Oppgave 9

a)

Nullpunkt:

$f(x)=0 \\ - \frac 23 x^3 + 3x^2 =0 \\ x^2( - \frac23 x+3)= 0 \\ x = 0 \vee x = \frac 92$

Nullpunkter: $(0,0) \wedge ( \frac 92 , 0)$

b)

Ekstremalpunkter:

$f´(x)= -2x^2+6x \\ f´(x)=0 \\ -2x^2+6x=0 \\ x(-2x+6)=0 \\ x=0 \vee x=3$

f´(-1) er negativ. f´(1) er positiv. f´(4) er negativ.

Det gir munimum for x= 0 og maksimum for x = 3.

Min: (0, f(0)) = (0, 0)

Maks: (3, f(3)) = (3, 9)

c)

d)

$f´(x)=-2x^2+6x \\ f´(1) = -2+6 =4 \\ f(1)= - \frac 23 + 3 = \frac 73$

$y =ax+b \\ y=4x+b \\ \frac73= 4 \cdot 1 + b \Rightarrow b= - \frac53$

Likningen til tangenten blir da: $y=4x - \frac 53$

Oppgave 2

a)