S1 2014 høst LØSNING

Oppgave 1

a)

$2x -10 = x(x-5) \\ -x^2+7x-10 =0 \\ x= \frac{-7 \pm \sqrt{49- 4 \cdot(-1) \cdot (-10)}}{-2} \\x= \frac{-7\pm 3}{-2} \\ x= 2 \vee x = 5$

b)

$lg(\frac x2) + 3 =5 \\ lg( \frac x2) = 2 \\10^{lg( \frac x2)} = 10^2 \\ \frac x2 = 100 \\ x= 200 $

Oppgave 2

$995 \cdot 995 = (1000 -5)^2 = 1000000-2\cdot 5 \cdot 1000 + 25 = 990025$

Oppgave 3

<math> \left[ \begin{align*}2x =y - 4 \\ 4x^2+3y=12 \end{align*}\right] </math>

<math> \left[ \begin{align*}y =2x + 4 \\ 4x^2+3(2x + 4) =12 \end{align*}\right] </math>

Løser x av ligning to og får:

$4x^2+6x+12 =12 \\ 4x^2+6x = 0 \\ x ( 4x+6) = 0 \\ x= 0 \vee x = - \frac 32$

Setter inn x verdier i ligning en og finner tilhørende y verdi:

$ x= 0 \Rightarrow y = 4 , \quad x= - \frac 32 \Rightarrow y = 1 \\ x = 0 \wedge y=4 \quad \vee \quad x= - \frac 32 \wedge y=1 $

Oppgave 4

$\lg(\frac{a^2}{b}) + \lg(a^2b^2)- \lg ( \frac ab) = 2\lg a - \lg b +2\lg a +2\lg b -\lg b + \lg a = 5\lg a$

Oppgave 6

a)

Dersom man kan bruke en bokstav flere ganger, et det trekkning med tilbakelegging: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64$

Det er mulig å lage 64 koder med fire bokstaver i tre posisjoner.

b)

Dersom en bokstav kun kan brukes en gang har vi trekkning uten tilbakelegging: $ 4 \cdot 3 \cdot 2= 24$

Det er mulig å lage 24 koder dersom en bokstav kun skal brukes en gang.

c)

Det er ofte mange måter å løse problemer på. Her er en: Vi skal lage en kode på tre bokstaver. Koden skal bestå av to eller tre like bokstaver.

Dersom koden består av bare like bokstaver er det kun fire muligheter, fordi vi bare har fire forskjellige bokstaver.

Dersom man har to like bokstaver kan disse arrangeres slik:

$AAx \\ AxA \\xAA$

Der x er bokstavnen B, C eller D.

Man har fire mulige dobble bokstaver, tre forskjellige posisjoner, og tre mulige valg av bokstaver etter de dobble er trukket. Det gir

$ 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36 $ muligheter. Om man i tillegg tar med de fire mulighetene for tre like bokstaver, ser man at det er mulig å lage 40 forskjellige koder dersom hver av kodene skal inneholde minst to like bokstaver.

Dette fant vi ut ved å tenke, uten hjelp fra svaret i deloppgave a og b. Litt lettere blir det dersom man ser at det svaret man er ute etter i c, denne oppgaven, er svaret i a minus svaret i b.

Alle fire bokstaver kan brukes flere ganger - Hver bokstav kan bare brukes en gang = 64 - 24 = 40

Oppgave 8

$f(x) = x^3-x \\ f´(x)=3x^2-1$

Vi har fasiten så da er det bare å gå i gang. Definisjonen på den deriverte er:

$ f´(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} $

Vi får da:

$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{((x + \Delta x)^3-(x+\Delta x)) - (x^3-x)}{\Delta x} \\ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x+ \Delta x) (x+ \Delta x)(x+ \Delta x) - (x +\Delta x) -(x^3-x)}{\Delta x} \\ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x^2+2x(\Delta x) + ( \Delta x)^2)(x+ \Delta x) - (x + \Delta x) - (x^3 - x)}{\Delta x} \\ \lim_{Delta x \to 0} \frac{x^3+ 2x^2 \Delta x + x (\Delta x)^2 +x^2 \Delta x +2x( \Delta x)^2 + ( \Delta x)^3 - x - \Delta x - x^3 + x }{\Delta x}$