Romfigurer

Kule

Vektornotasjon er nyttig for å beskrive romfigurer. Lar vi en generell romlig posisjonsvektor være <tex>\vec{r}=(x,y,z)</tex>, vil en kuleflate ha ligningen

<tex>|\vec{r}|=r</tex>

Alle punkter x,y,z som tilfredsstiller ligningen vil ligge på overflaten av ei kule med sentrum i origo og radius r.

Vi kan flytte senteret ved å translatere langs aksene, dvs. at vi subtraherer en konstant vektor <tex>\vec{r_0}</tex> fra posisjonen:

<tex>|\vec{r}-\vec{r_0}|=r</tex>

Alle punkter x,y,z som tilfredsstiller denne ligninga vil ligge på en kuleflate med senter i <tex>\vec{r_0}</tex> og radius r.

Dette gir oss en helt generell beskrivelse av en kule i rommet.

Volum

Volumet av ei kule med radius r er gitt ved formelen

<tex>V(r)=\frac43 \pi r^3</tex>

Overflateareal

Overflatearealet av ei kule med radius r er gitt ved formelen

<tex>A(r)=4\pi r^2</tex>

Parameterfremstilling av kuler og kuleflater

<tex> \left [ x = r \cdot cos s \cdot cos t\\ y = r \cdot sin s \cdot cos t \\ z = r \cdot sin t\right]</tex>

Sylinder

En sylinder har tverrsnitt som en sirkulær skive og lengde avgrenset av to plan som står normalt på sylinderens akse.

F.eks. vil en sylinder som er orientert i retning z-aksen (aksen er parallell med z-aksen) være beskrevet som en (lukket) skive i xy-planet avgrenset av plan parallelle med xy-planet. Ligningen til enhetsskiven i xy-planet,

<tex>x^2+y^2\leq 1</tex>,

vil dermed beskrive en sylinder når vi innfører en ny dimensjon (z-aksen); Sylinderflaten avgrenset av planene <tex>z=a</tex> og <tex>z=b</tex> med <tex>a<b</tex> vil bestå av alle punkter <tex>(x,y,z)</tex> slik at <tex>x^2+y^2\leq 1</tex> og <tex>z\in [a,b]</tex>

Volum

Volumet av en sylinder med lengde l hvis tverrsnitt har radius r er gitt ved formelen

<tex>V(r,l)=\pi r^2l</tex>

Volumet er altså produktet av arealet av tverrsnittet og lengden.

Overflateareal

Overflatearealet av en sylinder med lengde l og tverrsnitt med radius r, er gitt ved formelen

<tex>A(r,l)= 2\pi rl+2\pi r^2</tex>

Parallellepiped

En parallellepiped er en rektangulær boks som er klemt sammen eller deformert i en viss forstand; Vi tenker oss at en rektangulær boks er utspent av tre ortogonale vektorer. Et parallellepiped vil, til forskjell, være utspent av tre vektorer som ikke nødvendigvis er ortogonale.

Volum

Hvis <tex>\vec{r_1}</tex>, <tex>\vec{r_2}</tex> og <tex>\vec{r_3}</tex> er vektorene som utspenner et parallellepiped, vil volumet være gitt ved formelen

<tex>V(\vec{r_1},\vec{r_2},\vec{r_3})=|(\vec{r_1}\times \vec{r_2})\cdot \vec{r_3}|</tex>

Overflateareal

Hvis <tex>\vec{r_1}</tex>, <tex>\vec{r_2}</tex> og <tex>\vec{r_3}</tex> er vektorene som utspenner et parallellepiped, vil overflatearealet være gitt ved formelen

<tex>A(\vec{r_1},\vec{r_2},\vec{r_3})=2\cdot (|\vec{r_1}\times \vec{r_2}|+|\vec{r_1}\times \vec{r_3}|+|\vec{r_2}\times \vec{r_3}|)</tex>

Her har vi addert par av like sideflater som alle er parallellogrammer.

Rotasjonslegemer

Gitt en funksjon <tex>f(x)</tex> på et intervall <tex>I=[a,b]</tex>, kan vi rotere funksjonen om x-aksen slik at vi oppnår et rotasjonslegeme.

Volum

Volumet av rotasjonslegeme generert av en funksjon f(x) på et intervall I=[a,b] er gitt som et integral:

<tex>V(f(x):I)=\int_a^b \pi f(x)^2\,dx</tex>

Integralet kan sees på som en Riemannsum der <tex>\pi f(x)^2</tex> er arealet av en skive med tykkelse <tex>\Delta x</tex>. Grovt sett kan vi si at ved å la tykkelsen være infinitesimal vil dette resultere i integralet over.

Overflateareal

På analogt vis kan vi bruke integrasjon til å finne overflatearealet av et rotasjonslegeme:

<tex>A(f(x):I)= \int_a^b 2\pi f(x)\,dx</tex>

Integralet kan sees på som en Riemannsum der <tex>2\pi f(x)</tex> er omkretsen til tverrsnittet til en sylinder med lengde <tex>\Delta x</tex>. Grovt sett kan vi si at ved å la lengden være infinitesimal vil dette resultere i integralet over.

Kuler og sylindere som rotasjonslegemer

Ved å betrakte kuler og sylindere som rotasjonslegemer, kan vi anvende de generelle formlene for volum og areal over til å vise kjente formler.

F.eks. vil ei kule med radius 1 og senter i origo, være gitt som rotasjonslegemet vi får ved å rotere funksjonen <tex>f(x)=\sqrt{1-x^2}</tex> om x-aksen på intervallet <tex>[-1,1]</tex>. Bruker vi formelen for volum av rotasjonslegemer, får vi dermed at

<tex>V=\int_{-1}^1 \pi (1-x^2)\,dx=\pi[x-\frac13 x^3]_{-1}^1=\pi(1-\frac13 -(-1+\frac13))= \frac43 \pi </tex>

Dette er i overensstemmelse med den kjente formelen for ei kule med radius 1.

En sylinder vil fremkomme ved å rotere den konstante funksjonen <tex>f(x)=c</tex> om x-aksen.

Ellipsoide

Vi genererer en ellipsoide ved å rotere en ellipse om sin egen akse.

Paraboloide

Vi genererer en paraboloide ved å rotere en parabel om sin egen akse.

Hyperboloide

Vi genererer en hyperboloide ved å rotere en hyperbel om sin egen akse.