Romfigurer

Kule

Vektornotasjon er nyttig for å beskrive romfigurer. Lar vi en generell romlig posisjonsvektor være <tex>\vec{r}=(x,y,z)</tex>, vil en kuleflate ha ligningen

<tex>|\vec{r}|=r</tex>

Alle punkter x,y,z som tilfredsstiller ligningen vil ligge på overflaten av ei kule med sentrum i origo og radius r.

Vi kan flytte senteret ved å translatere langs aksene, dvs. at vi subtraherer en konstant vektor <tex>\vec{r_0}</tex> fra posisjonen:

<tex>|\vec{r}-\vec{r_0}|=r</tex>

Alle punkter x,y,z som tilfredsstiller denne ligninga vil ligge på en kuleflate med senter i <tex>\vec{r_0}</tex> og radius r.

Dette gir oss en helt generell beskrivelse av en kule i rommet.

Volum

Volumet av ei kule med radius r er gitt ved formelen

<tex>V(r)=\frac43 \pi r^3</tex>

Overflateareal

Overflatearealet av ei kule med radius r er gitt ved formelen

<tex>A(r)=4\pi r^2</tex>

Sylinder

En sylinder har tverrsnitt som en sirkulær skive og lengde avgrenset av to plan som står normalt på sylinderens akse.

F.eks. vil en sylinder som er orientert i retning z-aksen (aksen er parallell med z-aksen) være beskrevet som en (lukket) skive i xy-planet avgrenset av plan parallelle med xy-planet. Ligningen til enhetsskiven i xy-planet,

<tex>x^2+y^2\leq 1</tex>,

vil dermed beskrive en sylinder når vi innfører en ny dimensjon (z-aksen); Sylinderflaten avgrenset av planene <tex>z=a</tex> og <tex>z=b</tex> med <tex>a<b</tex> vil bestå av alle punkter <tex>(x,y,z)</tex> slik at <tex>x^2+y^2\leq 1</tex> og <tex>z\in [a,b]</tex>

Volum

Volumet av en sylinder med lengde l hvis tverrsnitt har radius r er gitt ved formelen

<tex>V(r,l)=\pi r^2l</tex>

Volumet er altså produktet av arealet av tverrsnittet og lengden.

Overflateareal

Overflatearealet av en sylinder med lengde l og tverrsnitt med radius r, er gitt ved formelen

<tex>A(r,l)= 2\pi rl+2\pi r^2</tex>

Parallellepiped

En parallellepiped er en rektangulær boks som er klemt sammen eller deformert i en viss forstand; Vi tenker oss at en rektangulær boks er utspent av tre ortogonale vektorer. Et parallellepiped vil, til forskjell, være utspent av tre vektorer som ikke nødvendigvis er ortogonale.

Volum

Hvis <tex>\vec{r_1}</tex>, <tex>\vec{r_2}</tex> og <tex>\vec{r_3}</tex> er vektorene som utspenner et parallellepiped, vil volumet være gitt ved formelen

<tex>V(\vec{r_1},\vec{r_2},\vec{r_3})=|(\vec{r_1}\times \vec{r_2})\cdot \vec{r_3}|</tex>

Overflateareal

Hvis <tex>\vec{r_1}</tex>, <tex>\vec{r_2}</tex> og <tex>\vec{r_3}</tex> er vektorene som utspenner et parallellepiped, vil overflatearealet være gitt ved formelen

<tex>A(vec{r_1},vec{r_2},vec{r_3})=2\cdot (|vec{r_1}\times vec{r_2}|+|vec{r_1}\times vec{r_3}|+|vec{r_2}\times vec{r_3}|)</tex>