R2 2016 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Løsningsforslag (pdf) fra bruker joes. Send gjerne en melding hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.

Løsningsforslag (pdf) delt på eksamensfest R2 på OHG 2016-06-01

Diskusjon av denne oppgaven

Del 1

Oppgave 1

a

$f(x)=2cos5x\quad \quad u=5x\\ f´(x) = -2sin u \cdot u´\\ f´(x)= -10 sin 2x $

b

$g(x)= e^{-2x} sin x \\ g´(x)= -2e^{-2x}sin x + e^{-2x}cos x = e^{-2x}(cos x -2sinx)$

Oppgave 2

a

$\int\limits_1^e \frac 1x dx = [3 ln x]_1^e = 3ln e - 3 ln 1 = 3-0= 3$

b

$\int \frac{2}{x^2-1} dx =\int \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} dx \\ A(x+1) +B(x-1) =2 \\ B=-1 \wedge A=1 \\ \int ( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} ) dx = ln|x-1|- ln|x+1| + c = \frac{ln|x-1|}{ln|x+1|} +c$

Oppgave 3

a

$ f(x)=sinx \quad x \in [0, \pi ] \\ \int \limits_0^{\pi} sinxdx \\ =[- cos x ]_0^{\pi} = -cos(\pi) + cos(0) =1+1 =2 $

b

$( \frac 12 x- \frac 12 sinx \cdot cos x + c)´= \frac 12 - \frac 12(cosx \cdot cosx + sin x \cdot sin x) \\ = \frac 12 - \frac 12( (1-sin^2x) - sin^2x) \\= sin^2x$

c

$ V= \int\limits_0^{\pi}\pi sin^2xdx=\pi [\frac12x -\frac12 sinx cosx]_0^{\pi} = \pi (\frac12\pi-0-(0-0))= \frac12 \pi^2$

Oppgave 6

$y' -xy = x \quad \quad y(0)=1$

Integrerende faktor: $e^{- \frac 12x^2}$

Vi får:

$ y' \cdot e^{- \frac 12x^2} -x y \cdot e^{- \frac 12x^2} = x \cdot e^{- \frac 12x^2} \\ \int (ye^{- \frac 12x^2})' dx = \int x \cdot e^{- \frac 12x^2} dx \quad u = - \frac12 x^2, \quad du =- xdx\\ ye^{- \frac 12x^2} = - e^{- \frac 12 x^2} +C \\ y= -1 +Ce^{ \frac 12x^2} $

Bruker initialbetingenlsen og får at C = 2.

Det gir:

$y = -1 + 2e^{ \frac x^2}$

Del 2

Oppgave 4

a

y er antall personer som kjenner ryktet ved tiden t. Ved t = 0 (starten) er det en person som kjenner ryktet. Ryktet sprer seg proporsjonalt med antallet som kjenner ryktet, multiplisert med antallet som ikke kjenner ryktet.

Endring i antall som kjenner ryktet:

$y' = 0,0006 \cdot y \cdot (1200 - y)$

b

Det tar ca. 10 dager før halvparten av bygdas befolkning er kjent med ryktet.