R2 2013 vår LØSNING
DEL EN
Oppgave 1.
a) <math> \displaystyle f'(x) = - 3 \cos x </math>
b) <math> \displaystyle g'(x) = 6\pi \cos(\pi x) </math>
c) <math> \displaystyle h'(x) = \left[ 2 \sin(3x) + 3 \right] \cos(3x) e^{2x} </math>
Oppgave 2.
a) La $u = 2x$ da er $\mathrm{d}u = 2x \mathrm{d}x$ slik at
$ \displaystyle \int \frac{2x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x = \int \frac{\mathrm{d}u}{u} = \ln|u| +\mathcal{C} = \ln \left| x^2 - 4 \right| +\mathcal{C}$
b) Legg merke til at
$\displaystyle \frac{2x}{x^2-4} = \frac{x + x}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2) + (x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{(x-2)}{(x-2)(x+2)} + \frac{(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-2} $
slik at vi kan skrive integralet som
$ \displaystyle \int \frac{2x}{x^2-4}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-2} \, \mathrm{d}x = \ln\left| x + 2 \right| + \ln\left| x - 2\right| + \mathcal{C} = \ln \left| x^2 - 4 \right| +\mathcal{C} $
som ønsket.
Oppgave 3.
a)
$\vec{AB} = (2,2,0)$ og $\vec{AC} = (-1,1,0)$ slik at $\vec{AB} \times \vec{AC} = (-1,-1,4)$.
Arealet blir da følgelig
$\displaystyle A = \frac{1}{2}\left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| = \frac{1}{2}\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 4^2} = \frac{3}{2}\sqrt{2}$
a)
$AB \cdot AC = 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 0 = 0 $
Arealet blir da følgelig
$\displaystyle A = \frac{1}{2}\left| \vec{AB} \right| \times \left| \vec{AC} \right| = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = \frac{3}{2}\sqrt{2}$
som før.
