R1 2020 vår LØSNING

oppgave

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag til del 1 av Kristian Saug

Løsningsforslag del 2 av Kristian Saug

Løsningsforslag av Svein Arneson

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Oppgave 1

a)

$f(x)=x^6 + 3x^5 + ln(x) \\ f'(x)= 6x^5+15x^4 + \frac{1}{x}$

b)

$g(x)=2x^2 \cdot e^{2x-1}\\ g'(x) = 4x \cdot e^{2x-1} + 2x^2 \cdot 2 \cdot e^{2x-1} = (1+x)4x \cdot e^{2x-1}$

c)

$h(x) = \frac{4x-1}{x+2} \\ h'(x) = \frac{4(x+2) - (4x-1)}{(x+2)^2} = \frac{9}{(x+2)^2}$

Oppgave 2

a)

$ln(x^2) + ln(x) = 12 \\ 2 ln(x) + ln(x) = 12 \\ 3 ln(x) = 12 \\ e^{ln(x)} = e^4 \\ x = e^4 $

b)

$e^{2x}-e^x =6 \\(e^x)^2 - e^x - 6 =0 \\ u = e^x \\ u^2-u-6=0 \\ u = 3 \vee u = -2 \\ e^x = 3 \vee e^x = -2 \\ x = ln(3)$

$e^x =-2$ har ingen løsning.

Oppgave 3

$\vec{u} \cdot \vec{v } =-2$ og $|\vec u | = 3$ og $ |\vec v | = 2$

$\vec a = 2 \vec u + 3 \vec v$ og $ \vec b = t \cdot \vec u + 5 \vec v$

a)

Dersom to vektorer er parallelle:

$ k \vec{a} = \vec{b} \\ k(2 \vec u + 3 \vec v) = t \cdot \vec u + 5 \vec v \\ 2k \vec u = t \cdot u \wedge 3k \cdot \vec v = 5 \vec v \\ t = 2k \wedge k = \frac 53 \\ t = \frac{10}{3}$

b)

Når to vektorer står normalt på hverandre er skalarproduktet null:

Oppgave 4

a)

Dersom polynomet går opp i (x-1) må P(1) være lik null:

$P(1) = 6 \cdot 1^3-5 \cdot 1^2-2 \cdot 1 +1 = 6-5 -2+1=0$, altså går divisjonen P(x) : (x-1) opp.

d)

$P(x)= (x-1)(2x+1)(3x-1)$ og $F(x)= \frac{P(x)}{x^2-1} = \frac{(x-1)(2x+1)(3x-1)}{(x+1)(x-1)}$