Forskjell mellom versjoner av «Prosentvis vekst over flere perioder»
(Ny side: == Prosentvis og eksponentiell vekst (vekstfaktor) == Dersom endringen i prosent er den samme hvert år har man en eksponentiell endring og kan bruke følgende formel: <blockquote style...) |
|||
| (2 mellomliggende revisjoner av samme bruker vises ikke) | |||
| Linje 2: | Linje 2: | ||
Dersom endringen i prosent er den samme hvert år har man en eksponentiell endring og kan bruke følgende formel: | Dersom endringen i prosent er den samme hvert år har man en eksponentiell endring og kan bruke følgende formel: | ||
| − | < | + | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> |
<math>K_n = K_0(1 + \frac{p}{100})^n</math> | <math>K_n = K_0(1 + \frac{p}{100})^n</math> | ||
| + | |||
<math>n</math> er antall tidsperioder (år)<p></p> | <math>n</math> er antall tidsperioder (år)<p></p> | ||
| + | |||
<math> K_0</math> er det man har fra starten av (penger, radioaktive isotoper ol.)<p></p> | <math> K_0</math> er det man har fra starten av (penger, radioaktive isotoper ol.)<p></p> | ||
| + | |||
<math>K_n</math> er det man har når det har gått n tidsperioder fra man startet<p></p> | <math>K_n</math> er det man har når det har gått n tidsperioder fra man startet<p></p> | ||
| + | |||
<math>P</math> er den prosent noe vokser eller avtar med<p></p> | <math>P</math> er den prosent noe vokser eller avtar med<p></p> | ||
| + | |||
<math>(1+\frac{p}{100})</math> kalles for vekstfaktoren | <math>(1+\frac{p}{100})</math> kalles for vekstfaktoren | ||
| − | </ | + | </div> |
| + | |||
Ett stykke lengre nede på siden er det vist hvordan man kommer fram til denne formelen, men først ser vi på et par eksempler som viser bruken av formelen. | Ett stykke lengre nede på siden er det vist hvordan man kommer fram til denne formelen, men først ser vi på et par eksempler som viser bruken av formelen. | ||
| Linje 20: | Linje 26: | ||
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=ABB%2BABC%2BABD%2BABE%2BABF%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=ABB%2BABC%2BABD%2BABE%2BABF%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | ||
| − | < | + | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> |
'''Eksempel''' | '''Eksempel''' | ||
| Linje 31: | Linje 37: | ||
Tallet 1,042 kalles for vekstfaktoren. | Tallet 1,042 kalles for vekstfaktoren. | ||
| − | </ | + | </div> |
| − | < | + | |
| + | |||
| + | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;"> | ||
Når vekstfaktoren er større enn 1 har man en vekstsituasjon. | Når vekstfaktoren er større enn 1 har man en vekstsituasjon. | ||
Dersom vekstfaktoren er mindre enn 1 har man en reduksjon. | Dersom vekstfaktoren er mindre enn 1 har man en reduksjon. | ||
| − | </ | + | </div> |
| − | < | + | |
| − | ''' | + | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> |
| + | '''Eksempel ''' | ||
En bil koster 160.000 kr. Den taper seg i verdi med 20% per år. Hva er bilend verdi om fem år? | En bil koster 160.000 kr. Den taper seg i verdi med 20% per år. Hva er bilend verdi om fem år? | ||
| Linje 49: | Linje 58: | ||
Legg merke til at når noe avtar skal det være minus i utrykket for vekstfaktoren:<math>(1-\frac{p}{100})</math>. Man får en vekstfaktor som er mindre enn en, 0,8. Etter 5 år er bilens verdi ca 52.000 kroner (52.429 kr, men så nøyaktig er man ikke på verdivurdering av biler.) | Legg merke til at når noe avtar skal det være minus i utrykket for vekstfaktoren:<math>(1-\frac{p}{100})</math>. Man får en vekstfaktor som er mindre enn en, 0,8. Etter 5 år er bilens verdi ca 52.000 kroner (52.429 kr, men så nøyaktig er man ikke på verdivurdering av biler.) | ||
| − | </ | + | </div> |
| + | |||
| + | |||
| − | < | + | <div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"> |
'''Eksempel''' | '''Eksempel''' | ||
| Linje 72: | Linje 83: | ||
Det fjerde året blir da | Det fjerde året blir da | ||
<math>K_{4} = 1000 \cdot 1,03^4 = 1125,51</math> | <math>K_{4} = 1000 \cdot 1,03^4 = 1125,51</math> | ||
| − | </ | + | </div> |
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=943%2B944%2B945%2B946%2B947%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=943%2B944%2B945%2B946%2B947%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv] | ||
Nåværende revisjon fra 12. sep. 2021 kl. 08:33
Prosentvis og eksponentiell vekst (vekstfaktor)
Dersom endringen i prosent er den samme hvert år har man en eksponentiell endring og kan bruke følgende formel:
<math>K_n = K_0(1 + \frac{p}{100})^n</math>
<math>(1+\frac{p}{100})</math> kalles for vekstfaktoren
Ett stykke lengre nede på siden er det vist hvordan man kommer fram til denne formelen, men først ser vi på et par eksempler som viser bruken av formelen.
Eksempel
La oss tenke oss at vi sparer kr. 1000,- og at rentefoten er 4,2%. Hvor mye har vi på konto etter 8 år?Løsning
<math>K_n = K_0(1 + \frac{p}{100})^n = 1000(1 + \frac{4,2}{100})^8</math>
<math>K_n = 1000(1,042)^8 = 1389,77</math>
Tallet 1,042 kalles for vekstfaktoren.
Når vekstfaktoren er større enn 1 har man en vekstsituasjon.
Dersom vekstfaktoren er mindre enn 1 har man en reduksjon.
Eksempel
En bil koster 160.000 kr. Den taper seg i verdi med 20% per år. Hva er bilend verdi om fem år?
Løsning
<math>K_n = 160.000(1 - \frac{20}{100})^5 = 160.000 \cdot 0,8^5</math>
Legg merke til at når noe avtar skal det være minus i utrykket for vekstfaktoren:<math>(1-\frac{p}{100})</math>. Man får en vekstfaktor som er mindre enn en, 0,8. Etter 5 år er bilens verdi ca 52.000 kroner (52.429 kr, men så nøyaktig er man ikke på verdivurdering av biler.)
Eksempel
Hvordan kommer man fram til formelen for eksponentiell vekst?
<math>K_n = K_0(1 + \frac{p}{100})^n</math>
La oss se på et eksempel: Man har 1000 kroner i banken i 4 år til en rente på 3%
Første året skjer dette: <math> K_{1} = 1000kr(1 + \frac{3}{100}) = 1000kr \cdot 1,03 = 1030kr </math>
Neste år er det 1030 kroner det skal beregnes renter av, men fra linjen over ser man at 1030kr kan skrives som <math> 1000kr \cdot 1,03 </math>,Man får da:
<math>K_{2} = 1030kr\cdot 1,03 = (1000kr \cdot 1,03) \cdot 1,03 = 1000 \cdot 1,03^2 =1060,90</math> Grunnlaget det beregnes av det tredje året er 1060,90 som kan skrives:<math>1000 \cdot 1,03^2</math>.Man får da:
<math>K_{3} = (1000 \cdot 1,03^2) \cdot 1,03 = 1000 \cdot 1,03^3</math>
Det fjerde året blir da <math>K_{4} = 1000 \cdot 1,03^4 = 1125,51</math>
