Forskjell mellom versjoner av «Praktisk romgeometri»
(→Linje) |
|||
| Linje 17: | Linje 17: | ||
I plantet er det slik at to linjer som ikke er parallelle vil skjære hverandre. I rommet er det nødvendigvis ikke tilfelle. To linjer som ikke er parallelle og som ikke skjærer hverandre sies å være vindskeive. | I plantet er det slik at to linjer som ikke er parallelle vil skjære hverandre. I rommet er det nødvendigvis ikke tilfelle. To linjer som ikke er parallelle og som ikke skjærer hverandre sies å være vindskeive. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | |||
=== Skjæring mellom linjer === | === Skjæring mellom linjer === | ||
Dersom to linjer i rommet skjærer hverandre må det være en parameterverdi for hver av linjene som gir et felles punkt, dvs. samme x-, y-, og z koordinat for begge linjene. | Dersom to linjer i rommet skjærer hverandre må det være en parameterverdi for hver av linjene som gir et felles punkt, dvs. samme x-, y-, og z koordinat for begge linjene. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | |||
=== Avstand mellom punkt og linje === | === Avstand mellom punkt og linje === | ||
Revisjonen fra 2. jan. 2011 kl. 13:35
Nedenfor finner man en oversikt over de vanligste spørsmål som dukker opp i forbindelse med punkter, linjer og plan.
Punkt
Avstand mellom to punkter
Avstanden d mellom punktene A og B er gitt ved <tex>d=|\vec{AB}|= \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B -y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} </tex>
Altså lik lengden av AB vektor.
Linje
En rett linje m som går gjennom punktet <tex>p = (x_0 , y_0 , z_0) </tex> og har rettningsvektor <tex> \vec{n} = (a, b, c) </tex> har parameterfremstillingen: <tex> m: \left [ x = x_0 + at\\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \right]</tex>
I plantet er det slik at to linjer som ikke er parallelle vil skjære hverandre. I rommet er det nødvendigvis ikke tilfelle. To linjer som ikke er parallelle og som ikke skjærer hverandre sies å være vindskeive.
Skjæring mellom linjer
Dersom to linjer i rommet skjærer hverandre må det være en parameterverdi for hver av linjene som gir et felles punkt, dvs. samme x-, y-, og z koordinat for begge linjene.
Avstand mellom punkt og linje
A er et vilkårlig punkt på linjen l. P er et punkt som ikke ligger på linjen. Arealformelen med vektorproduktet gir:
<tex> T = \frac12 \cdot | \vec{AP} x \vec{v}| </tex>
Der <tex>\vec{v}</tex> er rettningsvektoren til l.
Fra ingdomsskolen har man at arealet av en trekant er: <tex>T = \frac12 \cdot g \cdot h = \frac12 \cdot |\vec{v}| \cdot h </tex>
h er høyden i trekanten, altså den rette linjen fra punktet P som står normalt på linjen l, altså den avstanden man ønsker å finne. Kombinert gir dette:
<tex> \frac12 \cdot |\vec{v}| \cdot h = \frac12 \cdot | \vec{AP} x \vec{v}|</tex>
<tex> |\vec{v}| \cdot h = | \vec{AP} x \vec{v}|</tex>
<tex> h = \frac{ | \vec{AP} x \vec{v}|}{|\vec{v}|}</tex>
Avstand mellom to linjer
Først finner man ut om de to linjene er parallelle, eller om de er vindskeive.
Dersom de er paralelle ser man det ved at rettningsvektoren til den ene linjen er lik rettningsvektoren til den andre multiplisert med en konstant.
Vinkel mellom to linjer
Man finner vinkelen mellom to linjer ved å finne vinkelen mellom rettningsvektorene (skalarprodukt). Den største vinkelen mellom to linjer er 90 grader. Dersom den vinkelen man finner er større enn 90 grader, trekker man svaret fra 180 grader for å finne den minste vinkelen.
Ligger punktet på linja?
Plan
Vinkel mellom linje og plan
Avstand linje og plan
Avstand mellom punkt og plan
Skjæring mellom to plan
